Fyzikálny význam derivácie
1. V čom spočíva fyzikálny význam derivácie?
Riešenie:
- Okamžitá rýchlosť v čase t0 je prvou deriváciou dráhy podľa času:
v(t0) = s‘(t0).
- Okamžité zrýchlenie v čase t0 je prvou deriváciou rýchlosti podľa času:
a(t0) = v‘(t0)
Príklad:
Určite okamžitú rýchlosť a okamžité zrýchlenie pohybu v čase t, ktorého dráha je daná vzťahom :
2.
Kameň vyhodený z výšky h=10m kolmo nahor má počiatočnú rýchlosť v0=20m.s-1. Akú rýchlosť bude mať kameň v čase t=1,5s? Za aký čas dosiahne maximálnu výšku? Akú výšku dosiahne? (g = 10m.s-2)
Riešenie:
Rýchlosť kameňa v čase t = 1,5s je v = 5ms-1. Maximálnu výšku 30m dosiahne za 2 sekundy.
3.
Teleso zíde po naklonenej rovine 50m dlhej za 10s. Aká je jeho konečná rýchlosť,ak predpokladáme, že dráha je kvadratická funkcia času a že začiatočná rýchlosť je nulová.
Riešenie:
Konečná rýchlosť telesa je v = 10m.s-1
4.
Rýchlik idúci rýchlosťou 90km.h-1 má zabrzdiť tak, aby sa rovnomerne spomaleným pohybom zastavil na vzdialenosti 1km. Po akom čase zastaví?
Určite jeho rýchlosť po 10 sekundách od okamihu, keď začal brzdiť.
Riešenie:
Rýchlik zastaví za 80s.
5.
Zistite ako rýchle sa mení výška s tlakom vzduchu .
Vzorec, ktorý udáva výšku nad zemským povrchom v závislosti od tlaku vzduchu. (p0 – je normálny tlak vzduchu na hladine mora):
Riešenie:
6.
Určite rýchlosť zmeny napätia (p) vodných pár od absolútnej teploty (T), ak platí:
(C,L,R sú konštanty)
Riešenie:
7.
Množstvo elektrického náboja Q , ktorý prechádza vodičom sa mení s časom podľa vzťahu Q = 3t2 +2t +2 . ( [Q] = C, [t] = sec )
Vypočítajte intenzitu okamžitého prúdu i v čase t = 1s. Zistite tiež , kedy sa bude intenzita i = 20 A.
Riešenie:
V čase t = 1s je i = 8A. Intenzita i = 20 A bude v čase 3 sekundy.
8.
V indukčnej cievke preteká prúd i = 15.sin5(3t), [i] = A, [t] = sec, [L = 0,03 H] Vypočítajte indukované elektromotorické napätie v čase t = 2π/9 sec. podľa vzťahu:
Riešenie:
9.
Teleso sa pohybuje po priamke a pre jeho výchylku z rovnovážnej polohy platí : y = 2cos2πt - 3sin2πt. Nájdite jeho rýchlosť v čase t = 1s a najväčšiu výchylku z rovnovážnej polohy. (y je v cm)
Riešenie:
Rýchlosť :
y = 2cos2πt – 3sin2πt
v = y‘ = 4π.(-sin2πt) - 6π.(cos2πt)
v = y‘ = -2π.(2sin2πt + 3cos2πt)
v(1) = y/(1) = -2π.(2sin2π + 3cos2π)
v(1) = y/(1) = -2π.(0 +3.1)
v(1) = y/(1) = –6π [cm.s-1]
Maximálna výchylka :
v = 0
-2π.(2sin2πt + 3cos2πt) = 0 /:(-2π)
2sin2πt + 3cos2πt = 0 /:cos2πt
2tg2πt +3 = 0
tg2πt = –1,5
2πt = 1240
ymax = 2cos1240-3sin1240 = -1,1183 -2,4871 = –3,6054
ymax = -3,6054 cm.
10.
Výkon batérie s elektromotorickou silou E a vnútorným odporom Ri je : P = E.I – Ri.I2. Pri akom prúde dá batéria najväčší výkon? Určite tento výkon.
Riešenie:
