Extreme – praktische Probleme
1.Teile die Zahl 32 in zwei Summanden, so dass ihr Produkt maximal ist.
Lösung:
Erster Summand: x x = 16
Zweiter Summand: 32 – x 32 – 16 = 16
y = x.(32 – x)
y = 32x – x2
y‘ = 32 – 2x
32 – 2x = 0
2x = 32
x =16
y‘‘ = -2 < 0 - Maximum
Der erste Summand ist 16, der zweite ist ebenfalls 16.
2.Teile die Zahl 16 in zwei Summanden, so dass die Summe der Quadrate dieser Summanden minimal ist.
Lösung:
Erster Summand: x x = 8
Zweiter Summand: 16 – x 16 – 8 = 8
y = x2 + ( 16 – x )2
y = x2 + 256 -32x +x2
y = 2x2 – 32x + 256
y‘ = 4x – 32
4x - 32 = 0
4x = 32
x = 8
y‘‘ = 4 > 0 - Minimum
Der erste Summand ist 8, der zweite ist ebenfalls 8.
3.Finde eine positive Zahl x, so dass die Summe dieser Zahl und ihres Kehrwerts minimal ist.
Lösung:
Die gesuchte Zahl ist x = 1.
4.Aus einem Draht der Länge l = 120 cm soll ein Modell eines Quaders mit quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Welche Abmessungen soll er haben, damit seine Oberfläche maximal ist?
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5.Ein rechteckiger Garten hat den Umfang 200 m. Bestimme die Abmessungen des Gartens, so dass seine Fläche maximal ist.
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6.Wann hat ein Quader mit Volumen V = 63 cm3 und Höhe v = 7 cm die kleinste Oberfläche?
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7.Am Flussufer soll ein rechteckiger Garten (eine Seite des Rechtecks wird vom Fluss gebildet) mit Draht der Länge l = 800 m eingezäunt werden. Welche Abmessungen muss der Garten haben, damit seine Fläche maximal ist?
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8.Welche Abmessungen hat ein offenes Becken mit quadratischer Grundfläche, wenn das Volumen des Beckens V = 32 m3 ist und die Materialmenge für seinen Bau minimal sein soll?
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9.Ein Draht der Länge 5 m wird so rechtwinklig gebogen, dass der Abstand seiner beiden Enden minimal ist. Wo soll der Draht gebogen werden?
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10.Aus einem quadratischen Blech mit Seitenlänge 30 cm sollen in den Ecken vier gleich große Quadrate ausgeschnitten werden, und der Rest wird zu einer offenen Schachtel gefaltet. Bestimme die Seitenlänge x der ausgeschnittenen Quadrate, so dass das Volumen der Schachtel maximal ist.
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11.Eine Grube mit Volumen 500 m3 hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge x und Tiefe h. Für welche Abmessungen x und h hat die Grube die kleinste Oberfläche?
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12.Gegeben ist die Parabel y = 4 – x2. Finde die Eckpunkte des Rechtecks ABCD mit größtem Umfang, dessen Eckpunkte A, B auf der x-Achse liegen und dessen Eckpunkte C, D positive y-Koordinaten haben und auf der Parabel liegen.
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13.Bestimme die Abmessungen (r, v) eines zylindrischen Gefäßes ohne Deckel mit Oberfläche S = 27π so, dass sein Volumen maximal ist.
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14.Ein zylindrischer Behälter ohne Deckel hat das Volumen V = 3140 cm3. Bestimme die Zylinderabmessungen (r, v), so dass für seine Herstellung die geringstmögliche Materialmenge benötigt wird.
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15.Welche Abmessungen muss ein Rechteck mit Umfang P = 40 cm haben, damit seine Diagonale minimal ist?
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