Verhalten einer Funktion

Lösung:

a.)    Die Funktion y = f(x) ist an der Stelle x₀ wachsend, wenn f‘(x₀) > 0

b.)    Die Funktion y = f(x) ist an der Stelle x₀ fallend, wenn f‘(x₀) < 0

c.)    Die Funktion y = f(x) hat an der Stelle x₀ einen stationären Punkt, wenn f‘(x₀) = 0

d.)    Die Funktion y = f(x) ist an der Stelle x₀ konvex, wenn f‘‘(x₀) > 0

e.)    Die Funktion y = f(x) ist an der Stelle x₀ konkav, wenn f‘‘(x₀) < 0

f.)    Die Funktion y = f(x) hat an der Stelle x₀ einen Wendepunkt, wenn f‘‘(x₀) = 0 ^ f‘‘(x₀) ≠ 0

g.)    Die Funktion y = f(x) hat an der Stelle x₀ ein lokales Minimum, wenn f‘ (x₀) = 0 ^ f‘‘ (x₀) > 0

h.)    Die Funktion y = f(x) hat an der Stelle x₀ ein lokales Maximum, wenn f‘ (x₀) = 0 ^ f‘‘ (x₀) < 0

Lösung:  

Stationäre Punkte:
$y = x^3 - 5x^2 + 3x - 5$
$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-10x+3$
$3x^2 - 10x + 3 = 0$

$3(x - 3)\left(x - \frac{1}{3}\right) = 0$
$x_1=3$ oder $x_2 = \frac{1}{3}$

Wachsende Funktion:

$3(x-3)(x-\frac{1}{3})>0$

Division durch 3:
$(x-3)(x-\frac{1}{3})>0$

Mit Hilfe der Vorzeichenanalyse des quadratischen Ausdrucks:

Also:
$x > 3$ oder $x < \frac{1}{3}$

Fallende Funktion:

Wendepunkt:

$y'' = 6x - 10$

$6x - 10 = 0$

Konvexe Funktion:

$6x-10>0$

Konkave Funktion:

$6x-10<0$

Graph 

Lösung:

y = x³ -5x² +3x -5

y‘ = 3x² -10x +3

y‘(2) = 3·2² -10·2 +3

y‘(2) = -5 < 0

Die Funktion ist fallend.

y‘ = 3x² -10x +3

y‘‘ = 6x - 10

y‘‘(2) = 6·2 – 10

y‘‘(2) = 2 > 0

Die Funktion ist konvex.