Funktionsmerkmale

Lösung:

Eine Funktion f einer reellen Variablen x ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ R höchstens ein y ∈ R zuordnet, so dass
y = f(x)

Die Definitionsmenge der Funktion D ist die Menge aller x ∈ R, für die es genau ein y ∈ R gibt, so dass
y = f(x).

Die Wertemenge der Funktion H ist die Menge aller y ∈ R, für die es mindestens ein x ∈ R gibt, so dass
y = f(x).

x2​>x1​,f(x2​)>f(x1​), dann ist die Funktion streng monoton steigend
$x_2 > x_1, f(x_2) < f(x_1)$, dann ist die Funktion streng monoton fallend
$x_2 > x_1, f(x_2) \leq f(x_1)$, dann ist die Funktion monoton fallend
$x_2 > x_1, f(x_2) \geq f(x_1)$, dann ist die Funktion monoton steigend
$x_2 \neq x_1, f(x_2) \neq f(x_1)$, dann ist die Funktion injektiv

Wenn es ein $h\in$ gibt, so dass $f(x)\le h$, dann ist die Funktion nach oben beschränkt
Wenn es ein $d\in$R gibt, so dass $f(x) \g$, dann ist die Funktion nach unten beschränkt
Wenn die Funktion nach oben und nach unten beschränkt ist, ist sie beschränkt

Wenn $f(x + kp) = f(x)$, dann ist die Funktion periodisch ($p =$ Periode)
Wenn $f(-x)=f$, dann ist die Funktion gerade
Wenn $f(-x) = -f(x)$, dann ist die Funktion ungerade

Eine Funktion $f(x)$ besitzt eine Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Es gilt:
$D^{-}=H,H^{-}=D$

Zwei Funktionen sind gleich: f(x) = g(x), wenn: D(f) = D(g)

                                                       f(x) = g(x)

Welche der folgenden Graphen stellen Funktionen dar?

Funktion                                                  Funktion                                         Keine Funktion 

Lösung:  

A)
$y^2 = x \Rightarrow y = \sqrt{x}$, Wenn $x = 1$, dann $y_1=-1$ oder $y_2 = 1$ 

Der Ausdruck ist keine Funktion.

B)
$y+\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=0$
$y - x + 1 = 0$ oder $y + x - 1 = 0$
$y = x - 1$ und $x \ge 1$
$y = 1 - x$, $x\le 1$

Der Ausdruck stellt zwei Funktionen dar.

Für $x \in (-\infty; 1]$: $y = -x + 1$
Für $x\in (1;+\mathrm{\infty })$: $y = x - 1$

C)
$\mathrm{\mid }y-1\mathrm{\mid }+x=0$
$y - 1 + x = 0$ oder $-y + 1 + x = 0$
$y = 1 - x$ $y = 1 + x$

Wenn $x=5$, dann $y_1=-4$ und $y_2 = 6$
Der Ausdruck ist keine Funktion.

D)
$xy-3y=x^2-9$
$y(x - 3) = (x - 3)(x + 3)$
$y = x + 3$, falls $x\mathrm{\ne }0$, dann $y = 3$

Der Ausdruck ist eine Funktion.

Lösung:

Für die gegebenen Funktionen gilt: f₃(x) = F₄(X)