Kegelschnitte
1. Was weißt du über Kegelschnitte:
Lösung:
Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die vom festen Punkt S in der Ebene den gleichen Abstand r haben. S[m ; n] ist der Mittelpunkt und r ist der Radius des Kreises.
Ellipse ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die die Summe der Abstände von den Punkten F1, F2 der Ebene gleich 2a ist. Die Punkte F1[-e;0], F2[e;0] sind die Brennpunkte, Exzentrizität e2 = a2 - b2, a – große Halbachse, b – kleine Halbachse.
Hyperbel ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Betrag der Differenz der Abstände von den Punkten F1, F2 der Ebene gleich 2a ist. Die Punkte F1[-e;0], F2[e;0] sind die Brennpunkte, Exzentrizität e2 = a2 + b2. a – reelle, b – imaginäre Halbachse. Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel: ( o || x ) : 
Parabel ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstand von einem Punkt F in der Ebene und von einer in der Ebene liegenden Geraden d gleich ist. Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel, d – die Leitgerade. Der Punkt F liegt nicht auf d. Der Wert p ist der Parameter der Parabel.
Die Lage eines Kegelschnitts und einer Geraden bestimmen wir durch Lösen des Gleichungssystems, was auf eine quadratische Gleichung führt. Ist D > 0, so ist die Gerade eine Sekante; ist D = 0, eine Tangente; ist D < 0, so schneidet die Gerade nicht.
| Kurve | Gleichung S[m;n] | Zentralform S[0;0] | Allgemeine Form |
|---|
| Kreis | (x − m)² + (y − n)² = r² | x² + y² = r² | x² + y² + Ax + By + C = 0 |
| Ellipse | ((x − m)² / a²) + ((y − n)² / b²) = 1 | (x² / a²) + (y² / b²) = 1 | Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, A·B > 0 |
| Hyperbel (o ∥ x) | ((x − m)² / a²) − ((y − n)² / b²) = 1 | (x² / a²) − (y² / b²) = 1 | Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, A·B < 0 |
| Parabel (o ∥ y) | (x − m)² = 2p(y − n) | x² = 2py | x² + Ax + By + C = 0 |
| Parabel (o ∥ x) | (y − n)² = 2p(x − m) | y² = 2px | x² + Ax + By + C = 0 |
2.Gib die Gleichung eines Kreises an, der den Radius r = 8 hat und beide Koordinatenachsen berührt.
Lösung:
S [8; 8], r = 8
Die Gleichung des Kreises lautet
3.Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Durchmesser die Strecke AB ist, gegeben A [-1 ; 4 ], B [ 5 ; 6 ].
Lösung:
Die Gleichung des Kreises ist
4.Zeige, dass die Gleichungen k: x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0 und k2: x2 + y2 - 8x + 6y + 9 = 0 Kreise darstellen. Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Mittelpunkte dieser Kreise verläuft.
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5.Es gibt einen Kreis durch den Punkt A [4; 2], der die Koordinatenachsen berührt. Gib die Gleichung dieses Kreises an.
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6.Der Punkt A [-4 ; 5] ist ein Eckpunkt eines Quadrats, dessen Diagonale auf der Geraden p : [ 7x – y + 8 = 0 ] liegt. Bestimme die Gleichung des Umkreises des Quadrats.
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7.Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt S auf der Geraden p :[ x – y – 1 = 0 ] liegt und der außerdem durch die Punkte A [ -1; -1 ] und B [ 0; 6 ] geht.
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8.Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte K [2;-1], L [5;-2], M [10;3] geht.
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9.Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p: [2x – y – 6 = 0] und des Kreises k: [x2 + y2 – 4x -5y -1 = 0]
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10.Bestimme die Gleichung des Kreises, der zum Kreis k1: ( x – 1 )2 + ( y – 2 )2 = 1 bezüglich der Geraden p: x – y – 3 = 0 symmetrisch ist.
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11.Zwei Eckpunkte einer Raute liegen in den Brennpunkten der Ellipse 9x2 + 25y2 - 225 = 0, die anderen beiden an den Ellipsenendpunkten auf ihrer Nebenachse. Berechne den Flächeninhalt der Raute.
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12.Bestimme die Gleichung der Ellipse in Zentralform mit S [0;0], die durch die Punkte A [8;3] und [6;4] geht.
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13.Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt A [1;5] und den Mittelpunkt der Ellipse 4x2 + 9y2 - 24x + 36y +36 = 0 verläuft.
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14.In die Ellipse 2x2 + y2 – 4x + 4y – 108 = 0 ist ein Quadrat ABCD eingeschrieben. Finde seinen Umfang und seine Fläche.
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15.Finde den Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse 4x2 + 9y2 -16x + 36y + 16 = 0 zur Geraden 5x - 12y + 5 = 0
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16.Auf einer Ellipse mit Mittelpunkt S [3; 2], Halbachse b = 4, Exzentrizität e = 3 finde den Punkt mit y-Koordinate y = 2.
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17.Gegeben ist das Dreieck ΔABC mit Seitenlängen |AB| = 6, |AC| = 7, |BC| = 3. Bestimme die Gleichung der Ellipse, deren Brennpunkte in zwei Eckpunkten des Dreiecks liegen und die durch den dritten Eckpunkt geht.
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18.Bestimme und untersuche den Kegelschnitt, der durch die Punkte geht: K[0;0], L[8;0], M[0;6], N[8;6]. O[2;-2]
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19.Berechne die Länge der Sehne, die die Gerade 2x + y – 14 = 0 aus der Ellipse 4x2 + y2 -100 = 0 ausschneidet.
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20.Gib die Gleichung einer Ellipse an, wenn der gegebene Punkt M [3;-1] Endpunkt der kleinen Halbachse b ist und die Brennpunkte auf der Geraden p: y + 6 = 0 liegen. Für die Exzentrizität der Ellipse gilt:
21.Bestimme den Mittelpunkt und die Halbachsen der Hyperbel 9x2 -16y2 -36x + 32y – 124 = 0. Bestimme außerdem die Gleichungen ihrer Asymptoten.
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22.Bestimme die Gleichung der Hyperbel, wenn ihre Brennpunkte F1 [-10;2], F2 [16;2] sind. Reelle Achse 2a = 24
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23.Bestimme die Gleichung der Geraden, auf der die Symmetrieachse des Segments liegt, das die Mittelpunkte der Hyperbeln x2 – y2 + 6x - 8y – 107 = 0 und 16x2 -9y2 -160x + 36y +220 = 0 verbindet.
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24.Gegeben ist die Hyperbel 16x2 – 25y2 – 400 = 0. Bestimme: a) die Gleichungen der Asymptoten, b) den Winkel zwischen den Asymptoten
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25.Schreibe die Zentralgleichung der Hyperbel, die durch die Punkte geht:
26.Beweise, dass das Produkt der Abstände eines beliebigen Punktes M der Hyperbel 2x2 – y2 – 2 = 0 von ihren Asymptoten konstant ist und gleich 2 : 3.
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27.Finde die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Verhältnis der Abstände zum Punkt M [-5;0] und zur Geraden p: 5x + 16 = 0 konstant 5 : 4 ist.
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28.Schreibe die Gleichung der Hyperbel, deren Scheitel in den Brennpunkten der Ellipse x2 + 2y2 – 18 = 0 liegen und deren Brennpunkte in den Scheiteln dieser Ellipse.
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29.Schreibe die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt M [5 ; 4] und den Scheitel V der Parabel y2 - 6x + 10y + 31 = 0 verläuft.
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30.Gegeben sind die Parabeln x2 - 8x - 3y + 10 = 0 und x2 + 14x - 4y + 61 = 0. Berechne den Abstand ihrer Scheitel |V1V2|
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31.Bestimme die Gleichung einer Parabel (Öffnung parallel zur y-Achse), die durch die Punkte K[1;2], L[3;1], M[7;5] geht.
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32.Auf welcher Kurve liegen die Punkte der Ebene, deren Summe der Abstände von der x-Achse und vom Punkt B[8;0] konstant und gleich 24 ist.
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33.Die Parabel hat die Gleichung p: y2 = 8x. Berechne die Koordinaten des Quadrats ABCD, wenn A mit dem Scheitel der Parabel zusammenfällt, C auf der x-Achse liegt und die Punkte B, D auf der Parabel.
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34.Bestimme die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks ΔABC, das in die Parabel y2 = 5x eingeschrieben ist.
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35.Berechne die Länge der Sehne, die die Parabel y2 = 2x aus der Ellipse 4x2 + 9y2 – 400 = 0 ausschneidet.
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36.Bestimme die Lagen der Punkte A, B, C, D, in denen die Ellipse x2 + 2y2 -18 = 0 die Hyperbel x2 – y2 – 9 = 0 schneidet.
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37.Finde auf der Ellipse die Punkte, die vom rechten Brennpunkt den Abstand r = 14 haben (e > 0). Ellipsengleichung:
38.Berechne den Umfang des Rechtecks ABCD, dessen Eckpunkte die Schnittpunkte des Kreises k: x2 + y2 = 50 und der Hyperbel h: x2 – y2 = 48 sind.
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