Permutace
1. Definujte a charakterizujte:
a) Permutace z n prvků
b) Permutace z n prvků s opakováním
Řešení:
Permutace
Permutace n prvků je každá uspořádaná n-tice vytvořená z těchto prvků.
Každý zn prvků se v této n-tici vyskytuje právě jednou. Jednotlivé permutace se od sebe liší pouze pořadím prvků.
P(n) = n!
Permutace s opakováním
n
1 – počet stejných prvků 1. druhu
n
2 - počet stejných prvků 2. druhu
n
3 - počet stejných prvků 3. druhu, atd
n
j - počet stejných prvků j-tého druhu
Platí : n
1+n
2+n
3+.........+n
j = n
2. Dané jsou tři prvky a, b, c. Vytvořte z nich:
a) permutacie (bez opakování)
b) permutacie s opakováním, v nichž se "a" vyskytne 2 krát, "b" jednou a "c" jednou
Řešení:
3. Kolik různých päťciferných přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5, pokud:
- a) číslice v čísle použije jen jednou?
- b) Kolik z napsaných čísel bude začínat číslicí 5?
- c) Kolik z napsaných čísel bude sudých?
Řešení:
a) P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
b) P(4) = 4! = 4.3.2.1 =24
c)
končících 2: P(4) = 4! =24
končících 4: P(4) = 4! = 24
spolu : S = 2.4! = 2.24 = 48
4. Osm studentů má na internátě připraveno ubytování ve třech pokojích. Dvě jsou třílůžkové a jedna Dvoulužkový. Kolik je způsobů rozdělení studentů do pokojů?
Řešení:
První pokoj: n
1 = 3
Druhý pokoj: n
2 = 3
Třetí pokoj: n
3 = 2
n = 3 + 3 + 2 = 8
Existuje 560 způsobů rozdělení studentů do pokojů.
5. Kolika způsoby je možné hodit třemi kostkami součet 11?
Řešení:
a) permutace trojice 6,4,1 : P(3) = 3! = 6
b) permutace trojice 6,3,2 : P(3) = 3! = 6
c) permutace trojice 5,5,1 : P2,1*(3) = 3
d) permutace trojice 5,4,2 : P(3) = 3! = 6
e) permutace trojice 5,3,3 : P*1,2(3) = 3
f) permutace trojice 4,4,3 : P*2,1(3) = 3
Spolu 6+6+3+6+3+3 = 27 způsobú.
6.Čtyři české a tři slovenské knihy třeba uspořádat na poličce tak, aby byly seřazeny nejprve české a poté slovenské knihy. Kolik je způsobů jak se to dá udělat?
Řešení:
Usporiadanie českých knih: P(4) = 4! =24
Usporiadanie slovenských knih: P(3) = 3! = 6
N = P(4).P(3) = 24.6 = 144
Knihy sa dajú usporiadať 144 spôsobmi.
7. Pokud se zvětší počet prvků o 2, zvětší se počet permutací (bez opakování) 42 krát.
Kolik prvků na to potřebujeme?
Řešení:
P(x + 2) = 42.P(x)
(x + 2)! = 42.x!
(x + 2)(x +1)x! = 42x!/: x!
(x + 2)(x + 1) = 42
x2 + 3x +2 - 42 = 0
x2 +3x – 40 = 0
(x – 5)(x + 8) = 0
x1 = 5
x2 = - 8 nevyhovuje
K={5}
Potrebujeme 5 prvkov.
8. Patnáct svatebčanú se nemohlo dohodnout, kdo kde bude stát na svatební fotografii.
Ženich navrhl, aby učinily všechny možné sestavy svatebčanů na fotografiích.
a) Kolik fotografií je třeba udělat?
b) Kolik by fotografování trvalo, kdyby vyfotografování jedné fotky trvalo 10 sekund a fotografovali by se den i noc?
Řešení:
a)
P(15) = 15! = 1,307.10
12
Je třeba udělat1,307.10
12 fotografií.
b)
Fotografování by trvalo 414 377 let.
9. Šestimístné kód uzavírání trezoru v bance je vytvořen ze stejných číslic jako číslo 926002.
Kolik je možností vytvoření příslušného kódu?
Jaký čas by trvalo zloději vytočit všechny možnosti, pokud vytočit jeden kód mu trvá 5 sekund?
Řešení:
n
1 = 2, n
2 = 2, n
3 = 1, n
4 = 1, n = 6
t = 180.5sec. = 900 sec. = 15 minút
Možností je 180 a zloději by to trvalo 15 minut (jestliže správný je až poslední vytočený kód).
10. Student, který se hlásí na vysokou školu musí udělat 4 zkoušky. Za každou úspěšně vykonané zkoušce obdrží podle obtížnosti 2,3 nebo 4 body. K přijetí stačí dosáhnout 13 bodů. Kolika způsoby může student udělat zkoušky, aby byl přijat?
Řešení:
Aby byl student přijat musí získat 13, 14, 15 nebo 16 bodů.
| 13 bodů: |
(3,3,3,4) |
P*3,1(4) = 4 |
| |
(4,4,3,2) |
P*2,1,1(4) = 12 |
| 14 bodů: |
(4,4,4,2) |
P*3,1(4) = 4 |
| |
(4,4,3,3) |
P*2,2(4) = 6 |
| 15 bodů: |
(4,4,4,3) |
P*3,1(4) = 4 |
| 16 bodů: |
(4,4,4,4) |
P*4(4) = 1 |
N = 4 + 12 + 4 + 6 + 4 + 1 = 31
Student má celkem 31 možností jak získat požadované body.