Punkt, Gerade und Ebene
1. Erläutere, in welchen gegenseitigen Lagen Folgendes sein kann:
a) ein Punkt und eine Ebene
b) eine Gerade und eine Ebene
Lösung:
Punkt und Ebene.
Der Punkt A[a1; a2; a3] liegt in der Ebene ρ: a.x + by + cz + d = 0, wenn seine Koordinaten die Gleichung der Ebene ρ erfüllen.
Der Punkt A[a1; a2; a3] liegt nicht in der Ebene ρ: ax + by + cz + d = 0, wenn seine Koordinaten die Gleichung der Ebene ρ nicht erfüllen.
Der Abstand des Punktes A[a1; a2; a3] von der Ebene ρ: ax + by + cz + d = 0 ist gegeben durch:
Gerade und Ebene.
Sei der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor einer Ebene. Dann gilt:
-
Wenn , schneidet die Gerade die Ebene — sie sind nicht parallel, und ihr Schnittpunkt ist
. -
Wenn , ist die Gerade parallel zur Ebene — entweder ist , oder die Gerade liegt in der Ebene, .
Der Neigungswinkel der Geraden gegenüber der Ebene ist gegeben durch:
2. Welche der Punkte A [3;2;7], B[0;2;1], C[-8;-2;-1] liegen in der Ebene τ : 2x – 3y – 2z + 8 = 0? Welchen Wert muss x haben, damit der Punkt M[x;-6;2] ebenfalls in der gegebenen Ebene liegt?
Lösung:
Die Punkte C [-8;-2;-1] und M [-11;-6;2] liegen in der Ebene τ.
3. Bestimme, ob der Punkt A[9;-2;0] in der Ebene ξ: 3x + 2y – 6z + 26 = 0 liegt. Falls er nicht darauf liegt, berechne seinen Abstand von der gegebenen Ebene.
Lösung:
Der Punkt A liegt nicht in der Ebene ξ. Sein Abstand von dieser Ebene beträgt 7 Einheiten.
4. Berechne den Abstand des Ursprungs des Koordinatensystems von der Ebene:
5. Bestimme die gegenseitige Lage der Ebenen ρ und τ. Falls sie parallel und verschieden sind, bestimme außerdem ihren Abstand. Die Gleichungen der Ebenen lauten:
6. Was muss für die y-Koordinate des Punktes A [1;y;0] gelten, damit sein Abstand von der Ebene τ: 3x – 2y – 6z = 0 gleich 5 Einheiten ist?
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7. Bestimme die gegenseitige Lage und den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene, falls sie nicht parallel sind.
τ: x + y + z + 1
Gerade:
8. Gegeben sind eine Gerade p und eine Ebene ρ. Bestimme ihren gemeinsamen Punkt und den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene. Ihre Gleichungen lauten:
9. Bestimme die gegenseitige Lage der Ebenen ρ und π, deren Gleichungen sind:
10. Berechne den Winkel zwischen zwei nicht parallelen Ebenen:
11. Bestimme den gemeinsamen Punkt der Geraden p und der Ebene τ, falls gilt:
12. Der Abstand des Punktes A von der Ebene σ stellt die Seitenlänge des Quadrats ABCD dar. Berechne den Flächeninhalt dieses Quadrats, falls gilt:
13. Berechne den Abstand zweier paralleler Ebenen σ und τ, falls gilt:
14. Berechne die Länge der Höhe, die vom Scheitelpunkt V im Tetraeder ABCV gefällt ist, falls gilt:
15. Bestimme die reellen Zahlen a, b so, dass die Ebenen π und τ parallel sind, wenn gilt:
16. Bestimme die gegenseitige Lage der Ebenen σ und η, falls gilt:
17. Zeige, dass die Koordinatenebenen xy und yz senkrecht aufeinander stehen.
Bitte melden Sie sich an, um die Lösung anzuzeigen.18. Bestimme den Winkel zwischen der Geraden p und der Ebene μ, falls gilt:
19. Die Eckpunkte des Tetraeders sind die Punkte A, B, C, D. Bestimme den Winkel zwischen der Kante AD und der Ebene ρ = ABC, falls gilt:
20. Bestimme die gegenseitige Lage der drei Ebenen, falls gilt:
