Permutácie
1. Definujte a charakterizujte:
a) Permutácie z n prvkov
b) Permutácie z n prvkov s opakovaním
Riešenie:
Permutácie
Permutácia n prvkov je každá usporiadaná n –tica vytvorená z týchto prvkov.
Každý z n prvkov sa v tejto n-tici vyskytuje práve raz. Jednotlivé permutácie sa od seba líšia len poradím prvkov.
P(n) = n!
Permutácie s opakovaním
n
1 – počet rovnakých prvkov 1.druhu
n
2 - počet rovnakých prvkov 2.druhu
n
3 - počet rovnakých prvkov 3. druhu atď
n
j - počet rovnakých prvkov j-tého druhu
Platí : n
1+n
2+n
3+.........+n
j = n
2. Dané sú tri prvky a, b, c. Vytvorte z nich::
a) permutácie (bez opakovania)
b) permutácie s opakovaním, v ktorých sa „ a“ vyskytne 2 krát,“ b“ raz a „c“ raz
Riešenie:
3. Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísiel možno napísať pomocou číslic 1,2,3,4,5, ak:
a) číslica sa v čísle použije len raz?
b) Koľko z napísaných čísiel sa bude začínať číslicou 5?
c) Koľko z napísaných čísiel bude párnych?
Riešenie:
a) P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
b) P(4) = 4! = 4.3.2.1 =24
c)
končiacich 2: P(4) = 4! =24
končiacich 4: P(4) = 4! = 24
spolu : S = 2.4! = 2.24 = 48
4. Osem študentov má na internáte pripravené ubytovanie v troch izbách. Dve sú trojpostelové a jedna dvojpostelová. Koľko je spôsobov rozdelenia študentov do izieb?
Riešenie:
Prvá izba: n1 = 3
Druhá izba: n2 = 3
Tretia izba: n3 = 2
n = 3 + 3 + 2 = 8
Existuje 560 spôsobov rozdelenia študentov do izieb.
5. Koľkorakým spôsobom je možné hodiť troma kockami súčet 11?
Riešenie:
a) permutácia trojice 6,4,1 : P(3) = 3! = 6
b) permutácia trojice 6,3,2 : P(3) = 3! = 6
c) permutácia trojice 5,5,1 : P2,1*(3) = 3
d) permutácia trojice 5,4,2 : P(3) = 3! = 6
e) permutácia trojice 5,3,3 : P*1,2(3) = 3
f) permutácia trojice 4,4,3 : P*2,1(3) = 3
Spolu 6+6+3+6+3+3 = 27 spôsobov.
6. Štyri české a tri slovenské knihy treba usporiadať na poličke tak, aby boli zoradené najprv české a potom slovenské knihy. Koľkorakým spôsobom sa to dá urobiť?
Riešenie:
Usporiadanie českých kníh: P(4) = 4! =24
Usporiadanie slovenských kníh: P(3) = 3! = 6
N = P(4).P(3) = 24.6 = 144
Knihy sa dajú usporiadať 144 spôsobmi.
7. Ak sa zväčší počet prvkov o 2, zväčší sa počet permutácií (bez opakovania) 42 krát.
Koľko prvkov na to potrebujeme?
Riešenie:
P(x + 2) = 42.P(x)
(x + 2)! = 42.x!
(x + 2)(x +1)x! = 42x!/: x!
(x + 2)(x + 1) = 42
x2 + 3x +2 - 42 = 0
x2 +3x – 40 = 0
(x – 5)(x + 8) = 0
x1 = 5
x2 = - 8 nevyhovuje
K={5}
Potrebujeme 5 prvkov.
8. Pätnásti svadobčania sa nemohli dohodnúť, kto kde bude stáť na svadobnej fotografii.
Ženích navrhol, aby sa urobili všetky možné zostavy svadobčanov na fotografiách.
a) Koľko fotografií treba urobiť?
b) Koľko by fotografovanie trvalo, keby vyfotografovanie jednej fotky trvalo 10 sekúnd a fotografovalo by sa deň aj noc?
Riešenie:
a)
P(15) = 15! = 1,307.10
12
Treba urobiť 1,307.10
12 fotografií.
b)
Fotografovanie by trvalo 414 377 rokov.
9. Šesťciferný kód uzatvárania trezoru v banke je vytvorený z tých istých číslic ako číslo 926002.
Koľko je možností vytvorenia príslušného kódu?
Aký čas by trvalo zlodejovi vytočiť všetky možnosti, ak vytočiť jeden kód mu trvá 5 sekúnd?
Riešenie:
n
1 = 2, n
2 = 2, n
3 = 1, n
4 = 1, n = 6
t = 180.5sec. = 900 sec. = 15 minút
Možností je 180 a zlodejovi by to trvalo 15 minút (ak správny je až posledný vytočený kód).
10. Študent, ktorý sa hlási na vysokú školu musí urobiť 4 skúšky. Za každú úspešne urobenú skúšku dostane podľa obťažnosti 2,3 alebo 4 body. Na prijatie stačí dosiahnuť 13 bodov. Koľkými spôsobmi môže študent urobiť skúšky, aby bol prijatý?
Riešenie:
Aby bol študent prijatý musí získať 13, 14, 15 alebo 16 bodov.
| 13 bodov: |
(3,3,3,4) |
P*3,1(4) = 4 |
| |
(4,4,3,2) |
P*2,1,1(4) = 12 |
| 14 bodov: |
(4,4,4,2) |
P*3,1(4) = 4 |
| |
(4,4,3,3) |
P*2,2(4) = 6 |
| 15 bodov: |
(4,4,4,3) |
P*3,1(4) = 4 |
| 16 bodov: |
(4,4,4,4) |
P*4(4) = 1 |
N = 4 + 12 + 4 + 6 + 4 + 1 = 31
Študent má spolu 31 možností ako získať požadované body.