Logarithmen – Grundlagen

Logarithmus 

Der Logarithmus einer positiven Zahl x zur Basis a (a ist eine positive Zahl, die nicht 1 ist) ist die Potenz y, zu der die Basis a erhoben werden muss, um die Zahl x zu erhalten. 

log_ax = y, weil a^y = x     a > 0 und a ≠ 1

Eigenschaften der Logarithmen:

a.) Logarithmus eines Produkts: log_a(r·s) = log_ar + log_as

b.) Logarithmus eines Quotienten: log_a(r/s) = log_ar − log_as

c.) Logarithmus einer Potenz: log_a(xⁿ) = n·log_ax

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1. Umschreiben in die Logarithmus-Schreibweise:

10² = 100    log₁₀100 = 2
4⁵ =1024     log₄1024 = 5
13⁰ = 1      log₁₃1 = 0
10^-3 = 0,001  log₁₀0,001 = -3
64^0,5 = 8     log₆₄8 = 0,5
5^-2 = 0,04    log₅0,04 = -2

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2. Löse und begründe:

log₁₀1000   log₁₀1000 = 3 weil 10³ = 1000
log₃81      log₃81 = 4 weil 3⁴ = 81
log₂0,5     log₂0,5 = -1 weil 2^-1 = 0,5
log₁₇1      log₁₇1 = 0 weil 17⁰ = 1
log₁₁11     log₁₁11 = 1 weil 11¹ = 11
log₅0,2      log₅0,2 = -1 weil 5^-1 = 0,2
log₁₅0      log₁₅0 = 
log₅(-25)   log₅(-25) = nicht definiert 
log_0,40,4     log_0,40,4 = 1 weil 0,4¹ = 0,4
log₁49       log₁49 = nicht definiert 

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3. Bestimme x:

log₂x = 3     x = 2³ = 8
log₁₀x = -4   x = 10^-4 = 0,0001
log₁₆x = 0,5   x = 16^0,5 = 4
log₂₀x = 1    x = 20¹ = 20
log₂₅x = -0,5  x = 25^-0,5 = 0,2
log_0.2487x = 0  x = 0,2487⁰ = 1

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4. Bestimme a:

log_a25 = 2      a = 5
log_a81 = 4     a = 3
log_a100000 = 5    a = 10
log_a512 = 3     a = 8
log_a0,01 = -2   a = 10
log_a5 = 0,5     a = 25
log_a36 = 2     a = 6
log_a64 = 1     a = 64

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5. Logarithmiere die folgenden Ausdrücke (zur Basis a):

 

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6. Bestimme x:

 

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7. Werte den Ausdruck aus:

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8. Logarithmiere den Ausdruck (zur Basis a):

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9. Werte den Ausdruck aus:

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10. Werte den Ausdruck aus:

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11. Verwende den dekadischen Logarithmus, um die Gleichung zu lösen:

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12. Verwende den dekadischen Logarithmus, um die Gleichung zu lösen:

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13. Verwende den dekadischen Logarithmus, um die Gleichung zu lösen:

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14.Während t = 50 Stunden sinkt die Aktivität von radioaktivem Natrium auf 1/10 des Anfangswerts. Bestimme die Halbwertszeit des Nuklids mit Hilfe des natürlichen Logarithmus.