Starrer Körper

1.Was wissen wir über die Eigenschaften eines starren Körpers?

Lösung:

Ein starrer Körper ist ein ideales Objekt, dessen Form und Volumen sich unter der Einwirkung äußerer Kräfte nicht ändern. Äußere Kräfte bewirken eine Änderung des Bewegungszustands des starren Körpers. Die Bewegung des Körpers kann sein:

a.) Translationsbewegung

b.) Rotationsbewegung eines starren Körpers um eine Achse ist eine Bewegung, bei der jeder Punkt des Körpers zur selben Zeit die gleiche Winkelgeschwindigkeit $ω$ hat.

$ω = \frac{v}{r}, [ω] = \frac{[v]}{[r]} = \frac{{m s}^{- 1}}{m} = s^{- 1}$

Die Drehwirkung einer Kraft auf einen starren Körper wird durch das Drehmoment ausgedrückt:

$\vec{M} = \vec{F} \cdot \vec{r}, [M] = [F] [r] = N .m = 1 Newtonmeter$

$F$ ist die angreifende Kraft, $r$ ist der Hebelarm. Der Hebelarm $r$ ist der Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse des Körpers.

Momentensatz: Die Drehwirkungen der auf einen starren Körper wirkenden Kräfte heben sich auf, wenn gilt:

$M_{1} + M_{2} + M_{3} + \dots + M_{n} = 0$

Trägheitsmoment ist ein Maß für den Widerstand eines Körpers gegen die Rotationsbewegung:

$I = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + m_{3} r_{3}^{2}$ $[I] = [m] [r^{2}] = {kg . m}^{2}$

Kinetische Energie eines rotierenden Körpers:

$E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ $[E_{k}] = [I] [ω^{2}] = {kg . m}^{2} \cdot (s - 1)^{2} = {kg .m}^{2} \cdot s^{- 2} = 1 J$

2.An den Ecken einer rechteckigen Platte mit den Seiten a = 30 cm, b = 40 cm wirken Kräfte F₁ = 10 N, F₂ = 20 N, F₃ = 30 N, F₄ = 40 N. Die Platte kann sich um eine zur Platte senkrechte Achse drehen, die durch den Eckpunkt A geht. Wie groß ist das resultierende Moment der auf die Platte wirkenden Kräfte?

Lösung:

Das resultierende Moment der Kräfte beträgt 5 N·m.

3.Eine rechteckige Platte mit den Abmessungen a = 20 cm, b = 10 cm ist so gelagert, dass sie sich um eine durch ihr Zentrum O gehende, zur Platte senkrechte Achse drehen kann. Kraft F₁ = 800 N. Berechne den Betrag der Kraft F₂, damit die Platte in Ruhe bleibt.

Lösung:

Analyse:

a = 20 cm = 0.2 m, b = 10 cm = 0.1 m, r₁ = 0.1 m, r₂ = 0.05 m, F1 = 800 N

Damit die Platte in Ruhe bleibt, muss die Kraft F₂ gleich 1600 N sein.

4.Der Stab ist 1,2 m lang. An seinen Enden hängen Gewichte mit den Massen 5 kg und 7 kg. Wo muss der Stab abgestützt werden, damit er im Gleichgewicht bleibt?

Lösung:

Analyse:

r = 1.2 m, m₁ = 5 kg, m₂ = 7 kg, F₁ = 50 N, F₂ = 70 N

zad-4n r₁ + r₂ = r

F₁·r₁ = F₂·r₂

r₁ + r₂ = 1.2 ⇒ r₂ = 1.2 − r₁

50·r₁ = 70·r₂

50·r₁ = 70·(1.2 − r₁)

50 r₁ = 84 − 70 r₁

120 r₁ = 84

r₁ = 0.7 m, r₂ = 0.5 m

Der Stab sollte in einem Abstand von 0.7 Metern von der Kraft F₁ abgestützt werden.

5.An einer rotierenden Scheibe sind auf derselben Seite der Drehachse Gewichte mit m₁ = 0.5 kg im Abstand r₁ = 0.2 m und m₂ = 0.2 kg im Abstand r₂ = 0.4 m aufgehängt. In welchem Abstand von der Achse muss auf der anderen Seite ein Gewicht m₃ = 0.6 kg aufgehängt werden, damit Gleichgewicht entsteht?

Lösung:

Analyse:

m₁ = 0.5 kg, m₂ = 0.2 kg, m₃ = 0.6 kg, F₁ = 5 N, F₂ = 2 N, F₃ = 6 N, r₁ = 0.2 m, r₂ = 0.4 m, x = ?

Das Gegengewicht muss in einem Abstand x = 0.3 m von der Drehachse befestigt werden.

6.Wie viel Arbeit müssen wir verrichten, um einen Stahlzylinder mit der Masse 800 kg und dem Grundkreisradius 0.5 m auf 48 Umdrehungen pro Minute hochzudrehen? Trägheitsmoment eines Vollzylinders: (Tabellen)

Lösung:

Wir müssen die Arbeit W = 1262 J verrichten.

7.Wie groß ist das Trägheitsmoment eines Schwungrads, wenn bei der Bremsung durch Arbeit von 1260 J seine Drehzahl von 320 min^-1 auf 254 min^-1 abfällt?

Lösung:

Das Trägheitsmoment des Schwungrads beträgt näherungsweise I = 6.1 kg·m².

8.Eine Stahlscheibe wurde mit einem Seil der Länge 80 cm angetrieben, an dem eine Kraft von 30 N wirkte. Wie viele Umdrehungen macht sie in 1 Sekunde, wenn ihr Trägheitsmoment 0.03 kg·m² beträgt?

Lösung:

Analyse:

l = 80 cm = 0.8 m, F = 30 N, I = 0.03 kg·m², f = ?

Die Stahlscheibe macht 6.34 Umdrehungen pro Sekunde.

9.Auf welche Höhe würde ein Spielzeugauto einen Hügel hinauffahren, wenn es nur von einem Schwungrad mit dem Trägheitsmoment 0.1 kg·m² angetrieben wird? Das Schwungrad macht 4 Umdrehungen pro Sekunde. Die Masse des Spielzeugautos beträgt 8 kg.

Lösung:

Analyse:

I = 0.1 kg·m², f = 4 s^-1, m = 8 kg, h = ?

Das Spielzeugauto steigt auf eine Höhe h = 40 cm.

10.Bestimme die Mindestfrequenz, die ein Schwungrad mit dem Trägheitsmoment 305 kg·m² erreichen muss, damit es über eine Zeit von 10 Minuten eine Leistung von 25 kW abgibt.

Lösung:

Analyse:

I = 305 kg·m², t = 10 min. = 600 s, P = 25 000 W, f = ?

mechanika-tuheho-telesa-10

Die Mindestfrequenz des Schwungrads ist f = 50 s^-1.

11.

Erläutere, wann wir den Satz von Steiner (Parallelachsen-Satz) bei der Berechnung des Trägheitsmoments eines starren Körpers verwenden?

Lösung:

Wenn die Drehachse des starren Körpers nicht durch den Schwerpunkt verläuft, gilt der Satz von Steiner.

I = I₀ + m·d²

I₀ – Trägheitsmoment des Körpers, wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt verläuft

m – Masse des Körpers

d – Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse

Trägheitsmomente einiger Körper:

12.Berechne das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel mit Radius r = 10 cm und Masse 25 kg bezüglich einer Achse, die die Kugeloberfläche tangiert.

Lösung:

Analyse:

r = 10 cm = 0.1 m, m = 25 kg, d = r = 0.1 m

Das Trägheitsmoment der Kugel ist I = 0.35 kg·m².

13. Bestimme die Länge des Stabs l mit der Masse 1.2 kg und dem Trägheitsmoment 0.592 kg·m², wenn der Stab im Abstand 0.4 m von der festen Achse rotiert.

Lösung:

Analyse:

m = 1.2 kg, I = 0.592 kg·m², d = 0.4 m, l = ?

Die Länge des Stabs beträgt l = 2 m.

14.Ein Vollrad (Kreisscheibe) mit der Masse 20 kg und dem Radius r = 50 cm rollt mit der Geschwindigkeit 10 m·s^-1. Wie groß ist seine kinetische Energie?

Lösung:

Analyse: