Arithmetische Folge
1.Charakterisieren Sie die Eigenschaften einer arithmetischen Folge:
Eine Folge (a2)∞n+1 ist genau dann arithmetisch, wenn es ein d ∈ ℝ gibt, sodass für alle n ∈ ℕ gilt an+1 = an + d
Die Zahl d wird als Differenz der arithmetischen Folge bezeichnet.
In einer arithmetischen Folge gilt:
- an = a1 + (n-1)d
- ar = as + (r-s)d
- s = a1 + a2 + a3 + ... + an =
- Wenn d > 0 ist, ist die Folge steigend
- Wenn d < 0 ist, ist die Folge fallend
- Wenn d = 0 ist, ist die Folge konstant
2.Bestimmen Sie, ob die Folge arithmetisch ist:
Lösung:
a1 = -2, a2 = -1, a3 = 0, a4 = 1, a5 = 2 usw.
Die Folge ist arithmetisch mit der Differenz d = 1.
3.Schreiben Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folge, für die gilt:
a1 + a4 + a6 = 71
a5 – a2 – a3 = 2
Lösung:
a1 + a1 +3d +a1 +5d = 71
a1 + 4d – a1-d –a1 -2d = 2
3a1 + 8d = 71
-a1 + d =2/3
3a1 + 8d = 71
-3a1 + 3d = 6
a1 – d = -2
a1 = d - 2
a1 = 7 - 2
a1 = 5
11d = 77
d = 7
(a2)n-16 = 5;12;19;26;33;40
4.Schreiben Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folge, für die gilt:
Lösung:
5.Acht Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Bestimmen Sie sie, wenn Sie wissen, dass die Summe der mittleren Glieder 41 beträgt und das Produkt der äußeren 114 ist.
Lösung:
6.Fügen Sie zwischen die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 – 16x +39 = 0 vier Zahlen ein, sodass sie zusammen eine arithmetische Folge bilden.
Lösung:
Die eingefügten Zahlen sind: 5;7;9;11
7.Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden eine arithmetische Folge. Die längere Kathete ist 24 cm lang. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks.
Lösung:
Der Umfang des Dreiecks beträgt 72 cm.
8.Bestimmen Sie die Summe der natürlichen Zahlen 1+2+3+4+5+6+7+.............+100.
Lösung:
Die Summe der gegebenen Zahlen ist S = 5050.
9.Eiserne Rohre sind in acht Reihen gestapelt, sodass die oberste Reihe 13 Rohre hat und jede weitere eine mehr. Wie viele Rohre gibt es insgesamt?
Lösung:
Auf dem Stapel befinden sich 132 Rohre.
10.In einem Dreieck bilden die Winkel eine arithmetische Folge. Bestimmen Sie die übrigen Winkel, wenn der kleinste Winkel 20° beträgt.
Lösung:
Die Winkel des Dreiecks sind 20°, 60° und 100°.
11.Die Kanten eines Quaders bilden drei aufeinanderfolgende Glieder einer arithmetischen Folge. Wie groß sind sie, wenn ihre Summe 24 cm beträgt und das Volumen 312 cm3 ist?
Lösung:
Die Kanten des Quaders sind 3 cm, 8 cm und 13 cm lang.
12.Wie lange würde ein Stein in eine Grube in Südamerika fallen, die 2500 m tief ist, wenn er in der ersten Sekunde 4,904 m und in jeder weiteren 9,808 m mehr fällt?
Lösung:
Der Stein würde etwa 22,5 Sekunden fallen.