Rechtwinkliges Dreieck
1. Definiere ein rechtwinkliges Dreieck.
Lösung:
a) Satz des Pythagoras:
a
2 + b
2 = c
2
b) Goniometrische Funktionen:
c) Umfang:
U = a + b + c
d) Fläche:
e) Euklidische Sätze:
a
2 = c·c
a
b
2 = c·c
b
v
2 = c
a·c
b
2. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks ΔABC sind a = 3 cm, b = 4 cm.
Bestimme:
a) Länge der Hypotenuse c
b) Höhe auf die Hypotenuse, vc
c) Fläche S
d) Die spitzen Winkel α und β
Lösung:
Für das Dreieck ΔABC gilt: c = 5 cm, v
c = 2,4 cm, S = 6 cm
2, α = 36,87°, β = 53,16°.
3. Seien a, b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und c die Hypotenuse, α der Winkel gegenüber von a.
Fülle die Tabelle aus! (Längen in cm)
Lösung:
4. Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden eine arithmetische Folge. Bestimme:
a) den Umfang
b) die Fläche
des Dreiecks. Die längere Kathete ist 16 cm lang.
Lösung:
a = 16 - x
b = 16
c = 16 + x
(16 – x)2 + 162 = (16 + x)2
256 – 32x + x2 + 256 = 256 + 32x + x2
64x = 256
x = 4
a) Umfang
a = 12
b = 16
c = 20
U = a + b + c
U = 12 + 16 + 20
U = 48 cm
b) Fläche
S = 0,5·a·b
S = 0,5·12·16
S = 96 cm2
Der Umfang des Dreiecks beträgt U = 48 cm, die Fläche beträgt S = 96 cm2.
5. Die Summe der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 30 cm. Die Fläche beträgt 110,5 cm2. Bestimme den Umfang des Dreiecks.
Lösung:
Der Umfang des Dreiecks beträgt 51,4 cm.
6. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind 1 cm länger als die Basis. Die Höhe ist 2 cm kürzer als der Schenkel. Bestimme die Länge des Schenkels.
Lösung:
z = 16 cm, r = 17 cm, v = 15 cm
7. Die Seiten eines Dreiecks haben die Längen a = 4p2 - 1, b = 4p, c = 4p2 + 1. Zeige, dass es sich um ein rechtwinkliges und pythagoreisches Dreieck handelt. Schreibe vier pythagoreische Dreiecke auf.
Lösung:
Wenn der Satz des Pythagoras für ein Dreieck gilt, ist es ein rechtwinkliges Dreieck.
Das Dreieck ist rechtwinklig.
Pythagoreische Dreiecke:
Beweis:
35
2 + 12
2 = 37
2
1225 + 144 = 1369
1369 = 1369
8. Wie groß ist die Steigung einer Straße, wenn das Verkehrsschild 6,7 % angibt? Das Auto fährt 2,3 km auf dieser Straße.
Welche Höhendifferenz hat das Auto zurückgelegt?
Lösung:
Der Steigungswinkel der Straße beträgt 3,83°.
Das Auto überwand eine Höhendifferenz von etwa 154 m.
9. Berechne die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, dessen Umfang 20 cm beträgt.
Lösung:
Die Fläche des Dreiecks beträgt 17,15 cm
2.
10. Für die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks gilt a : b = 2 : 3. Die Hypotenuse ist 10 cm lang.
Berechne den Umfang und die Fläche dieses Dreiecks.
Lösung:
Der Umfang des Dreiecks ΔABC beträgt 23,86 cm und die Fläche 23,045 cm
2.