Pravouhlý trojuholník
1. Definujte pravouhlý trojuholník.
Riešenie:
a) Pytagorova veta:
a
2 + b
2 = c
2
b) Goniometrické funkcie:
c) Obvod trojuholníka:
O = a + b + c
d) Obsah trojuholníka:
c) Euklidove vety:
a
2 = c.c
a
b
2 = c.c
b
v
2 = c
a.c
b
2. V pravouhlom trojuholníku ΔABC sú dané odvesny a =3 cm, b = 4 cm.
Vypočítajte:
a) preponu c
b) výšku na preponu vc
c) obsah trojuholníka S
d) ostré uhly α a β
Riešenie:
V trojuholníku ΔABC platí: c = 5cm, v
c = 2,4cm, S = 6cm
2, α = 36,87°, β = 53,16°.
3. V pravouhlom trojuholníku sú a, b odvesny, c prepona, α je uhol proti odvesne a.
Doplňte tabuľku! (Dĺžky strán sú v cm)
Riešenie:
4. Strany pravouhlého trojuholníka tvoria aritmetickú postupnosť. Vypočítajte:
a) jeho obvod
b) jeho obsah
ak veľkosť dlhšej odvesny je 16 cm.
Riešenie:
a = 16 - x
b = 16
c = 16 + x
(16 – x)2 + 162 = (16 + x)2
256 – 32x + x2 + 256 = 256 + 32x + x2
64x = 256
x = 4
a) Obvod trojuholníka
a = 12
b = 16
c = 20
O = a + b + c
O = 12 +16+20
O = 48 cm
b) Obsah trojuholníka
S = 0,5.a.b
S = 0,5.12.16
S = 96 cm2
Trojuholník ΔABC má obvod O = 48 cm a obsah S = 96 cm2.
5. Určite obvod pravouhlého trojuholníka, ak súčet jeho odvesien je 30 cm a jeho obsah je 110,5 cm2.
Riešenie:
Obvod trojuholníka je 51,4 cm.
6. Vypočítajte veľkosť základne a ramena rovnoramenného trojuholníka, ak rameno je o 1 cm dlhšie ako základňa a výška na základňu je o 2 cm kratšia ako rameno.
Riešenie:
z = 16 cm, r = 17 cm, v = 15cm
7. Dokážte, že ak trojuholník má strany a = 4p2- 1, b = 4p, c = 4p2+1 je pravouhlý a volá sa Pytagorejský trojuholník. Napíšte štyri takéto trojuholníky.
Riešenie:
Ak pre trojuholník platí Pytagorova veta, je pravouhlý.
Pytagorova veta platí, trojuholník je pravouhlý.
Pytagorejské trojuholníky:
Skúška:
35
2 + 12
2 = 37
2
1225 + 144 = 1369
1369 = 1369
8. Aké stúpanie má cesta, ak na dopravnej značke, ktorá o tom informuje, je napísané 6,7 %? Auto prešlo 2,3 km po tejto ceste.
Aký výškový rozdiel auto prekonalo?
Riešenie:
Uhol stúpania cesty je 3,83°.
Auto prekonalo výškový rozdiel asi 154 m.
9. Vypočítajte obsah rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, ktorého obvod je 20cm.
Riešenie:
Obsah trojuholníka je 17,15 cm
2.
10. Pre odvesny pravouhlého trojuholníka platí a:b = 2:3. Prepona má dĺžku 10 cm.
Vypočítajte obvod a obsah tohto trojuholníka.
Riešenie:
Obvod trojuholníka ΔABC je 23,86 cm a obsah 23,045 cm
2.