cz|en|

Fyzikálny význam derivácie

1. V čom spočíva fyzikálny význam derivácie?

Riešenie:

  • Okamžitá rýchlosť v čase t0 je prvou deriváciou dráhy podľa času:

     v(t0) = s‘(t0).

  • Okamžité zrýchlenie v čase t0 je prvou deriváciou rýchlosti podľa času:

     a(t0) = v‘(t0)

Príklad:

Určite okamžitú rýchlosť a okamžité zrýchlenie pohybu v čase t, ktorého dráha je daná vzťahom :
fyzikalny-vyznam-derivacie-1


2.Kameň vyhodený z výšky h=10m kolmo nahor má počiatočnú rýchlosť v0=20m.s-1. Akú rýchlosť bude mať kameň v čase t=1,5s? Za aký čas dosiahne maximálnu výšku? Akú výšku dosiahne? (g = 10m.s-2)

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-2 

Rýchlosť kameňa v čase t = 1,5s je v = 5ms-1. Maximálnu výšku 30m dosiahne za 2 sekundy.


3.Teleso zíde po naklonenej rovine 50m dlhej za 10s. Aká je jeho konečná rýchlosť,ak predpokladáme,   že dráha je kvadratická funkcia času a že začiatočná rýchlosť je nulová.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-3 

Konečná rýchlosť telesa je v = 10m.s-1 


4.Rýchlik idúci rýchlosťou 90km.h-1 má zabrzdiť tak, aby sa rovnomerne spomaleným pohybom zastavil na vzdialenosti 1km. Po akom čase zastaví?

Určite jeho rýchlosť po 10 sekundách od okamihu, keď začal brzdiť.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-4 

Rýchlik zastaví za 80s.


5.Zistite ako rýchle sa mení výška s tlakom vzduchu .

Vzorec, ktorý udáva výšku nad zemským povrchom v závislosti od tlaku vzduchu. (p0 – je normálny tlak vzduchu na hladine mora):

 fyzikalny-vyznam-derivacie-5z

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-5r


6.Určite rýchlosť zmeny napätia (p) vodných pár od absolútnej teploty (T), ak platí:

fyzikalny-vyznam-derivacie-6z

(C,L,R sú konštanty)

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-6r


7.Množstvo elektrického náboja Q , ktorý prechádza vodičom sa mení s časom podľa vzťahu Q = 3t2 +2t +2 . ( [Q] = C, [t] = sec )

Vypočítajte intenzitu okamžitého prúdu i v čase t = 1s. Zistite tiež , kedy sa bude intenzita i = 20 A.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-7 

V čase t = 1s je i = 8A. Intenzita i = 20 A bude v čase 3 sekundy.


8.V indukčnej cievke preteká prúd i = 15.sin5(3t), [i] = A, [t] = sec, [L = 0,03 H] Vypočítajte indukované elektromotorické napätie v čase t = 2π/9 sec. podľa vzťahu:

fyzikalny-vyznam-derivacie-8z

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-8r


9.Teleso sa pohybuje po priamke a pre jeho výchylku z rovnovážnej polohy platí : y = 2cos2πt - 3sin2πt. Nájdite jeho rýchlosť v čase t = 1s a najväčšiu výchylku z rovnovážnej polohy. (y je v cm)

Riešenie:

Rýchlosť :

y = 2cos2πt – 3sin2πt

v = y‘ = 4π.(-sin2πt) - 6π.(cos2πt)

v = y‘ = -2π.(2sin2πt + 3cos2πt)

v(1) = y/(1) = -2π.(2sin2π + 3cos2π)

v(1) = y/(1) = -2π.(0 +3.1)

v(1) = y/(1) = –6π [cm.s-1]


Maximálna výchylka :

v = 0

-2π.(2sin2πt + 3cos2πt) = 0 /:(-2π)

 

      2sin2πt + 3cos2πt = 0 /:cos2πt

     2tg2πt +3 = 0

     tg2πt = –1,5

     2πt = 1240


ymax = 2cos1240-3sin1240 = -1,1183 -2,4871 = –3,6054

ymax = -3,6054 cm.


10.Výkon batérie s elektromotorickou silou E a vnútorným odporom Ri je : P = E.I – Ri.I2. Pri akom prúde dá batéria najväčší výkon? Určite tento výkon.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-10


11.Pre výpočet dráhy harmonického pohybu platí s = A.sin(ω.t). Odvoďte vzťah pre výpočet rýchlosti a zrýchlenia harmonického pohybu.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-11 

Vzťah pre výpočet rýchlosti harmonického pohybu je v = Aω.cos(ω.t), pre výpočet zrýchlenia a = –ω2s.


12.Závislosť medzi množstvom a hmotnosťou pri niektorých chemických reakciách je daná rovnicou

x = A.(1 – e–kt). (A, k sú konštanty). 

Vypočítajte rýchlosť tejto reakcie.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-12 

Rýchlosť chemickej reakcie je daná vzťahom v = k.(A – x ).


13. Zotrvačník sa otáča, je pribrzdený a začne sa pohybovať podľa rovnice

fyzikalny-vyznam-derivacie-13z

Napíšte rovnicu uhlovej rýchlosti a zistite za aký čas prejde pohyb v rovnomerný otáčavý s uhlovou
rýchlosťou ω = π .

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-13r 

Uhlová rýchlosť ω = π sa dosiahne za t = 5 sekúnd.


14.Pohyb piesta tam a späť závisí od času podľa rovnice s = –1,5t3 + 9t2 (cm). Vypočítajte maximálnu vzdialenosť, ktorú piest dosiahne za 4 sekundy. Určite tiež rýchlosti v0, v1,........v6.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-14 

Piest za 4 sekundy dosiahne 48cm. 


15.Pri pohybe telesa je dráha popísaná rovnicou s = t2 + 3t – 5 (m) pričom v čase t = 0 sec. bola jeho rýchlosť nulová. Určite dráhu, rýchlosť a zrýchlenie v čase t = 5s. Určite tiež jeho kinetickú energiu, ak jeho hmotnosť je 8kg.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-15 

Kinetická energia telesa v piatej sekunde je Ek = 676 J.


16.Teleso sa pohybuje po dráhe s = t2 – t3/3 + 3t + 8 (m). Vypočítajte

  • a.) za aký čas zastaví
  • b.) aké bude jeho zrýchlenie v čase t = 0,5s
  • c.) akú dráhu prejde teleso do zastavenia

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-16 

  • Teleso zastaví za 3sekundy a prejde 17 metrov. 
  •  Jeho spomalenie v čase 0,5s bude 1m.s–2.


17.Množstvo elektrického náboja, ktorý prechádza vodičom sa men podľa vzťahu Q = 2.t.e–t. Zistite čas, kedy sa intenzita prúdu bude rovnať nule.

Riešenie:

fyzikalny-vyznam-derivacie-17 

Intenzita prúdu bude nulová v čase t = 1 sekunda


18.Presvedčte sa, že daná funkcia opisujúca priebeh elektrického prúdu vybíjajúceho sa kondenzátora, vyhovuje diferenciálnej rovnici:

fyzikalny-vyznam-derivacie-18z 

Riešenie:

 fyzikalny-vyznam-derivacie-18

Funkcia vyhovuje danej diferenciálnej rovnici.