cz|en|

Vektor v priestore

1. Aké sú vlastnosti vektora v priestore.

Riešenie:

vektor-v-priestore-1


2.Zistite dĺžku úsečky AB, ktorá má stred S v počiatku súradnicových osí a bod A [6; -2; 3]

Riešenie:

vektor-v-priestore-2


3.Určite súradnice vrcholu C [c1; c2; c3] v trojuholníku Δ ABC, ak vrcholy a ťažisko majú polohu: A [3;3;3], B [-2;1;2], T [0;-1;0]. Zistite tiež obvod tohto trojuholníka.

Riešenie:

vektor-v-priestore-3


4.Na osi z nájdite bod, ktorý je rovnako vzdialený od bodov A [ -2;1;4] a B [3;0;1]

Riešenie:

vektor-v-priestore-4


5. V rovnobežnostene ABCDEFGH sú známe súradnice bodov A[2;-3;1], B[3;-4;2], D[4;2;-3], E[5;3;4]. Vypočítajte súradnice zvyšných bodov C, F, H, G

Riešenie:

vektor-v-priestore-5


6.Dokážte, že trojuholník Δ ABC je rovnoramenný a pravouhlý ak: A[2;-4;9], B[-1;-4;5], C[6;-4;6]

Riešenie:

vektor-v-priestore-6


7.Dané sú vektory:

 vektor-v-priestore-7z

Zistite, či sú lineárne závislé.

Riešenie:

vektor-v-priestore-7r


8.Zistite, či dané štyri body ležia v jednej rovine. A[1;2;-1], B[0;1;5], C[-1;2;1], D[2;1;3]

Riešenie:

vektor-v-priestore-8


9.Vypočítajte obsah trojuholníka Δ ABC, ktorého vrcholy ležia v bodoch:

vektor-v-priestore-9z

Riešenie:

vektor-v-priestore-9r


10.Vypočítajte objem štvorbokého ihlana ABCDV, ak poznáte jeho vrcholy: A[2;0;0], B[0;3;0], D[0;0;6], V[2;3;8]

Riešenie:

vektor-v-priestore-10


11. Určite dĺžku ťažnice v trojuholníku ABC, ak platí A[1;0;2], B[-2;1;-3], C[0;-1;1].

Riešenie:

vektor-v-priestore-11.gif


12. Určite vzdialenosť stredov úsečiek AB, CD ak platí:

vektor-v-priestore-12z.gif

Riešenie:

vektor-v-priestore-12r.gif


13.Nech A[1;2;8] a B[4;y;4], potom |AB| = 5. Aké bude y?

Riešenie:

vektor-v-priestore-13.gif

Hľadaný bod je B[4;2;4].


14. Dané sú body K, L, M, N. Vypočítajte súradnice bodu N ak platí:

vektor-v-priestore-14z.gif

Riešenie: 

vektor-v-priestore-14r.gif 

Hľadaný bod je N [-4;3;-1].


15.Dané sú body A[4;-3;2], B[5;0;-1]. Určite čísla m, n tak, aby bod C[2;m;n] ležal na vektore AB.

Riešenie:

vektor-v-priestore-15.gif

Hľadaný bod je C[2;-9;8].


16.Určite vzájomnú polohu vektorov

vektor-v-priestore-16z.gif

Riešenie:

vektor-v-priestore-16r.gif

Dané vektory sú na seba kolmé.


17. Dané sú tri body v priestore A, B, C. Vypočítajte veľkosť uhla

vektor-v-priestore-17z.gif

Riešenie:

vektor-v-priestore-17r.gif

Uhol medzi vektormi je α = 600.


18.Vypočítajte obvod a obsah trojuholníka ABC, ak pre jeho vrcholy platí:

A[0;1;2], B[1;2;0], C[2;0;1]

Riešenie:

vektor-v-priestore-18.gif


19.V trojuholníku ABC sú dané vrcholy A, B a ťažisko T. Určite súradnice vrcholu C ak platí

A[3;3;3], B[-2;1;2], T[0;-1;0], C[x,y,z]

Riešenie:

vektor-v-priestore-19.gif

Tretí vrchol ΔABC je C[-1;-6;-5].


20.Vektor u zapíšte ako lineárnu kombináciu vektorov v a w ak platí:

vektor-v-priestore-20z.gif

Riešenie:

vektor-v-priestore-20r.gif