Kvadratúra
1.Vysvetlite pojem „kvadratúra“
Riešenie:
Kvadratúra je výpočet obsahu rovinného útvaru, ktorý je ohraničený osou x , dvoma rovnobežkami s osou y v bodoch x1 = a, x2 = b a čiarou ( priamkou alebo krivkou ), ktorá má rovnicu y = f(x).
2.Pomocou určitého integrálu odvoďte vzorec pre výpočet obsahu
Riešenie:
a) Štvorec
Štvorec je ohraničený osou x, priamkou y = a a priamkami rovnobežnými s osou y v bodoch a = 0, b = a.
b) Obdĺžnik
Obdĺžnik je ohraničený osou x , priamkou y = b a priamkami rovnobežnými s osou y v bodoch a=0, b=a.
3.Pomocou určitého integrálu odvoďte vzorec pre výpočet obsahu
- a) rovnoramenného trojuholníka
- b) rovnoramenného lichobežníka
Riešenie:
a) Rovnoramenný trojuholník
Rovnoramenný trojuholník má základňu a, výšku v. Nech S1 je polovičný obsah tohto trojuholníka, ktorý je ohraničený osou x, priamkami rovnobežnými s osou y v bodoch a = 0, b = v a priamkou
b) Rovnoramenný lichobežník
Rovnoramenný lichobežník má hornú základňu a, dolnú b a výšku v. Nech S1 je polovičný obsah tohto lichobežníka, ktorý je ohraničený osou x, priamkami rovnobežnými s osou y v bodoch a = 0, b = v a priamkou
4.Vypočítajte obsah útvaru ohraničeného parabolou y = x2 + 1 a priamkou y = 5.
Riešenie:
Priesečníky priamky y1 = 5 a paraboly y2 = x2 + 1 sú hranice integrálu
5.Pomocou určitého integrálu vypočítajte obsah rovinného útvaru ohraničeného parabolami
y = 6 – 4x + x2 a y = –3 + 8x –2x2.
Riešenie:
Priesečníky parabol y1 =6 – 4x + x2 a y2 = –3 +8x –2x2 sú hranice integrálu.
6. Odvoďte vzorec pre výpočet obsahu kruhu s polomerom r.
Riešenie:
Najprv dokážeme, že rovnice x = r.cost a y = r.sint sú parametrické rovnice kružnice.
Dôkaz:
x2 + y2 = r2
r2cos2t + r2sin2t = r2
r2(cos2t + sin2t) = r2
r2.1 = r2
r2 = r2 – tvrdenie platí
S1 je štvrtina kruhu, ktorá je ohraničená osou x, osou y ( x = 0)
a kružnicovým oblúkom y = r.sint
7.Odvoďte vzorec pre obsah elipsy, ktorej poloosi sú „a“ a „b“.
Riešenie:
Najprv dokážeme , že rovnice x = a.cost a y = b.sint sú parametrické rovnice elipsy.
Dôkaz :
