cz|en|

Dokonalé čísla

Dokonalé číslo je prirodzené číslo a, ktorého súčet všetkých jeho deliteľov d1, d2, d3, ........dn sa rovná dvojnásobku daného dokonalého čísla a.

2a = d1 + d2 + d3 +.........+dn

Najmenšie dokonalé číslo je a = 6. Toto číslo je deliteľné číslami 1,2,3,6

2.6 = 1+2+3+6

Ďalšie dokonalé číslo je 28. Je deliteľné číslami 1,2,4,7,14,28

2.28 = 1+2+7+14+28

Dokonalými číslami sa zaoberal aj najväčší starogrécky matematik Euklides (365 – 300 p.n.l.). V 10. knihe svojich Stocheia (Základy) uvádza vzorec pre výpočet dokonalých čísiel:

a = 2n-1(2n – 1) kde n a (2n – 1) sú prvočísla

n = 2 : a = 21(22 – 1) = 2.3 = 6

n = 3 : a = 22(23 – 1) = 4.7 = 28

n = 4 : a = 23(24 – 1) = 8.15 = 120 , 120 nie je dokonalé číslo, lebo 4 a15 nie sú prvočísla

n = 5 : a = 24(25 – 1) = 16.31 = 496

n = 7 : a = 26(27 – 1) = 64.127 = 8128

V súčasnosti poznáme 26 dokonalých čísiel pre exponent n = 2,3,5,7,13,17,19, 31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213, 19937,21701,44497. (Sú to prvočísla.) Všetky doteraz známe dokonalé čísla sú párne.

Najväčšie doteraz známe dokonalé číslo je a = 244496(244497– 1).

Literatúra: Opava, Z.: Matematika kolem nás, Praha, Albatros 1989