cz|en|

Trojuholník

1.Charakterizujte obecný trojuholník

Riešenie:

trojuholnik1

2. Dokážte, že pre vonkajšie uhly trojuholníka platí α*+ β*+ γ* = 360°.

Dôkaz:

α + α* = 180°
β + β* = 180°
γ + γ* = 180°
_____________

α + β + γ + α* + β* + γ* = 540°
α* + β* + γ* = 540° – (α + β + γ)
α* + β* + γ* = 540° - 180°
α* + β* + γ* = 360°

3. Trojuholník má stranu c = 40 cm. Pre jeho uhly platí: α:β:γ = 3:5:10.

Vypočítajte jeho:
a) obvod
b) obsah
Riešenie:

Obvod
trojuholnik3a

Obsah
trojuholnik3b

4. Daný je rovnostranný trojuholník so stranou a = 10 cm.

Vypočítajte obsah plochy medzi kružnicou tomuto trojuholníku opísanou a vpísanou.
Riešenie:
trojuholnik4

5. Janko je od jedného konca stromu padnutého na zem vzdialený 5 m, od druhého 8m. Strom vidí pod zorným uhlom 60°.

Akú dĺžku má strom?
Riešenie:

trojuholnik5a = 5 m
b = 8 m
γ = 60°


x2 = a2 + b2 -2ab.cosγ
x2 = 52 + 82 -2.5.8.cos60°
x2 = 25 + 64 – 80.0,5
x2 = 25 + 64 – 40
x2 = 49
x = 7

Strom je dlhý 7 m.

6. Tri kružnice s polomermi r1 = 2 cm, r2 = 3cm, r3 = 4cm majú vonkajší dotyk.

Vypočítajte vnútorné uhly trojuholníka, ktorý vznikne pospájaním stredov týchto kružníc.
Riešenie:

trojuholnik6

V trojuholníku sú uhly α = 44,41°, β = 78,46° a γ = 57,13°.

7. Zo stanice súčasne vyšli dva vlaky na priamych tratiach, zvierajúcich uhol φ = 156°
rýchlosťami v1 = 13 ms-1, v2 = 14,5 ms-1.

Ako sú od seba vzdialené za čas t = 5 min?
Riešenie:
trojuholnik7

Vlaky po piatich minútach budú od seba vzdialené asi 8 km.

8. Sily F1, F2 majú spoločné pôsobisko a zvierajú uhol φ = 60°.

  • Aká veľká je ich výslednica, ak F1 = 42N, F2 = 35N.
  • Určite uhly, ktoré zvierajú sily F1, F2 s výslednicou.
Riešenie:
trojuholnik8

  • Výslednica síl je F = 66,77N.
  • Uhly zvierajúce výslednica F s F1 a F2 sú α = 33° a β = 27°.

9. Z veže vysokej 20 m a vzdialenej od rieky 20 m sa javí šírka rieky pod uhlom 15°.

Aká široká je rieka v tomto mieste?
Riešenie:
trojuholnik9

Šírka rieky na tomto mieste je x = 14,64 m.

10. Teleso, ktoré má hmotnosť m = 1563 kg je zavesené na vodorovnom tráme na dvoch lanách rôznej dĺžky. Laná zvierajú s trámom uhly α = 48°, β = 62°.

Vypočítajte namáhanie lán v ťahu. (F = 15630 N)

Riešenie:
trojuholnik-10-1 

trojuholnik-10-2

Laná sú namáhané silami F1 = 7814 N a F2 = 11138 N.