Trojuholník
1.Charakterizujte obecný trojuholník
Riešenie:
2. Dokážte, že pre vonkajšie uhly trojuholníka platí α*+ β*+ γ* = 360°.
Dôkaz:
α + α* = 180°
β + β* = 180°
γ + γ* = 180°
_____________
α + β + γ + α* + β* + γ* = 540°
α* + β* + γ* = 540° – (α + β + γ)
α* + β* + γ* = 540° - 180°
α* + β* + γ* = 360°
3. Trojuholník má stranu c = 40 cm. Pre jeho uhly platí: α:β:γ = 3:5:10.
Vypočítajte jeho:
a) obvod
b) obsah
Riešenie:
Obvod
Obsah
4. Daný je rovnostranný trojuholník so stranou a = 10 cm.
Vypočítajte obsah plochy medzi kružnicou tomuto trojuholníku opísanou a vpísanou.
Riešenie:
5. Janko je od jedného konca stromu padnutého na zem vzdialený 5 m, od druhého 8m. Strom vidí pod zorným uhlom 60°.
Akú dĺžku má strom?
Riešenie:
a = 5 m
b = 8 m
γ = 60°
x
2 = a
2 + b
2 -2ab.cosγ
x
2 = 5
2 + 8
2 -2.5.8.cos60°
x
2 = 25 + 64 – 80.0,5
x
2 = 25 + 64 – 40
x
2 = 49
x = 7
Strom je dlhý 7 m.
6. Tri kružnice s polomermi r1 = 2 cm, r2 = 3cm, r3 = 4cm majú vonkajší dotyk.
Vypočítajte vnútorné uhly trojuholníka, ktorý vznikne pospájaním stredov týchto kružníc.
Riešenie:
V trojuholníku sú uhly α = 44,41°, β = 78,46° a γ = 57,13°.
7. Zo stanice súčasne vyšli dva vlaky na priamych tratiach, zvierajúcich uhol φ = 156°
rýchlosťami v1 = 13 ms-1, v2 = 14,5 ms-1.
Ako sú od seba vzdialené za čas t = 5 min?
Riešenie:
Vlaky po piatich minútach budú od seba vzdialené asi 8 km.
8. Sily F1, F2 majú spoločné pôsobisko a zvierajú uhol φ = 60°.
- Aká veľká je ich výslednica, ak F1 = 42N, F2 = 35N.
- Určite uhly, ktoré zvierajú sily F1, F2 s výslednicou.
Riešenie:
- Výslednica síl je F = 66,77N.
- Uhly zvierajúce výslednica F s F1 a F2 sú α = 33° a β = 27°.
9. Z veže vysokej 20 m a vzdialenej od rieky 20 m sa javí šírka rieky pod uhlom 15°.
Aká široká je rieka v tomto mieste?
Riešenie:
Šírka rieky na tomto mieste je x = 14,64 m.
10. Teleso, ktoré má hmotnosť m = 1563 kg je zavesené na vodorovnom tráme na dvoch lanách rôznej dĺžky. Laná zvierajú s trámom uhly α = 48°, β = 62°.
Vypočítajte namáhanie lán v ťahu. (F = 15630 N)
Riešenie:
Laná sú namáhané silami F1 = 7814 N a F2 = 11138 N.