Pohyby v radiálnom gravitačnom poli
1. Charakterizujte radiálne gravitačné pole Zeme.
Riešenie:
Ak trajektória hmotného bodu pri pohybe v gravitačnom poli Zeme je porovnateľná s rozmermi Zeme, gravitačné pole je radiálne. Radiálne gravitačné pole je priestorovo neohraničené. Na rôznych miestach takéhoto poľa má gravitačné zrýchlenie rôzny smer, lebo stále smeruje do stredu Zeme a rozličnú veľkosť, ktorá závisí od vzdialenosti daného miesta od stredu Zeme. Príkladom pohybu v radiálne gravitačné pole Zeme sú pohyby umelých družíc Zeme, pohyby medzikontinentálnych striel a rakiet atď.
Na teleso o hmotnosti m pôsobí pri pohybe v gravitačnom poli Zeme
a) dostredivá sila:
b) gravitačná sila:
Teleso má
a) kinetickú energiu:
b) potenciálnu energiu:
Pre radiálne gravitačné pole Slnka platia tri Keplerove zákony:
1.) Planéty sa pohybujú okolo Slnka po elipsách malo odlišných od kružníc, v spoločnom ohnisku je Slnko.
2.) Plochy opísané sprievodičom planéty za rovnaký čas sú rovnaké.
3.)
T
1, T
2 sú obežné doby dvoch planét, a
1, a
2 sú hlavné polosi ich trajektórií.
2.Vypočítajte prvú a druhú kozmickú rýchlosť.
Riešenie:
- a.) Prvá kozmická rýchlosť v1
- b.) Druhá kozmická rýchlosť v2
- Prvá kozmická rýchlosť (kruhová) je v1 =7,9 km.s-1.
- Druhá kozmická rýchlosť (parabolická, úniková) je v2 = 11,2 km.s-1.Teleso sa trvale vzďaľuje od Zeme ale zostáva v gravitačnom poli Slnka.
- Tretia kozmická rýchlosť je v3 = 16,7 km.s-1. Teleso opúšťa gravitačné pole Slnka.
3. V istej dobe boli zo Zeme pozorované dve družice v rôznych výškach (h1 = RZ, h2 = 2RZ), ktoré sa pohybovali po kruhových trajektóriách rovnakým smerom. Určite ich rýchlosti. v1 = 7,9 km.s-1
Riešenie:
Rýchlosti družíc sú u1 = 5,6 km.s-1 a u2 = 4,56 km.s-1.
4.Určite parabolickú (druhú kozmickú) rýchlosť na povrchu Mesiaca. mM=7,41.1022 kg, RM=1,736.106 m
Riešenie:
Druhá kozmická rýchlosť na povrchu Mesiaca je v2 = 2,4 km.s-1
5. Hmotnosť Slnka je mS =1,989 1030 kg. Rýchlosť obehu Zeme okolo Slnka je v = 29,82 km.s-1. V akej vzdialenosti obieha Zem okolo Slnka?
Riešenie:
Rozbor:
mS =1,989 1030 kg, v = 29,82 km.s-1= 29,82.103 m.s-1
r (presne) = 149 597 900 km
Môže sa použiť zaokrúhlená hodnota AU = 150.106 km. Je to „astronomická jednotka“.
6.Mesiac obieha okolo Zeme vo vzdialenosti 384 000 km a má hmotnosť 7,41.1022 kg. Na spojnici stredov obidvoch telies nájdite bod C, v ktorom by bol človek v beztiažovom stave. V tomto bode sa gravitačná sila Zeme rovná gravitačnej sile Mesiaca.
Riešenie:
Rozbor:
Hľadaný bod C (libračný, Lagrangeov bod) je vo vzdialenosti 345 600 km od Zeme a 38 400 km od Mesiaca.
7.Najväčšia planéta Slnečnej sústavy Jupiter obieha okolo Slnka vo vzdialenosti 7,8.108 km. Hmotnosť Slnka je 1,989.1030 kg. Akú hmotnosť má Jupiter, ak ho Slnko priťahuje gravitačnou silou Fg= 4,2.1023 N? Aké veľké zrýchlenie udeľuje Slnko Jupiteru? Aký je obežný čas (perióda T) Jupitera okolo Slnka?
Riešenie:
Hmotnosť Jupitera je 1,9.1027kg, jeho zrýchlenie 2,2.10-4 m.s-2. Obežná doba Jupitera okolo Slnka je 11,8 rokov (pozemských)
8.V akej výške h nad Zemou sa musí umiestniť stacionálna družica, ktorá sa nachádza nad tým istým miestom nad povrchom Zeme?
Riešenie:
Rozbor:
mZ = 6.1024 kg, RZ = 6,378.106m, TZ = 23hod. 56min. 4sek = 8,6164.104s
mD = hmotnosť družice
Stacionárnu družicu treba umiestniť do výšky 35 856 km nad Zemou.
9. Pomocou Keplerových zákonov zistite:
- a.) Aká je stredná vzdialenosť planéty Venuša od Slnka, ak jej doba obehu okolo Slnka je
TV=0,615 roka.
- b.) Aké je doba obehu planéty Merkúr okolo Slnka, ak jej stredná vzdialenosť od Slnka je
aM = 0,387AU
Riešenie:
- Vzdialenosť Venuše od Slnka je asi 108,5.106 km.
- Obežná doba Merkúru okolo Slnka je asi 88 dní.
10.Kozmická loď štartuje zo stacionárnej obežnej stanice umiestnenej vo výške h = 35 856 km nad Zemou (viď príkl. č.8) smerom na Mesiac. Za aký čas sa kozmická loď dostane do oblasti Mesiaca?
Riešenie:
Čas 11,03 dňa je perióda celej dráhy kozmickej lode. Cesta zo Zeme na Mesiac trvá polovicu tejto periódy, čiže asi 5,52 dňa.