cz|en|

Determinant

1. Čo je determinant a aké má vlastnosti?

Riešenie:

Determinant n – tého rádu je číslo D, vytvorené z n2 čísiel aik, usporiadaných do štvorcovej tabuľky z n riadkov a n stĺpcov tvaru

determinant-1a.gif

a11,a12,...a1n =>riadok determinatu

a11,a21,...an1 =>stĺpec determinatu

a11,a22,...ann =>hlavná diagonála

Hodnota determinantu:

  • Determinant druhého rádu

 determinant-1b.gif

determinant-1c.gif

Determinant n-tého stupňa:

Determinant n-tého stupňa má n riadkov a n stípcov. (n>3) Subdeterminant (minor) Mij príslušný k prvku aij vznikne z determinantu D vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca.

Algebraický doplnok (kofaktor):

Aij =(-1)i+j.aij.Mij

Rozvoj determinantu:

a.) podľa i-tého riadku:

D=ai1Mi1 + ai2Mi2 + ... + ainMin

b.) podľa j-tého stĺpca:

D=a1jM1j + a2jM2j + ... + anjMnj


2. Vyslovte vety o hodnote determinantu.

Riešenie:

  • 1)    Hodnota determinantu sa nezmení, ak v ňom zameníme riadky za stĺpce.
  • 2)    Hodnota determinantu sa nezmení, ak k ľubovoľnému riadku pripočítame (odčítame) ľubovoľný násobok ostatných riadkov.
  • 3)    Hodnota determinantu sa rovná nule, ak sú v niektorom riadku všetky prvky rovné nule.
  • 4)    Hodnota determinantu sa rovná nule, ak niektorý riadok je ľubovoľným násobkom iného riadku.
  • 5)    Hodnota determinantu sa rovná nule, ak má dva riadky rovnaké.
  • 6)    Determinant zmení znamienko, ak medzi sebou vymeníme dva riadky determinantu.
  • 7)    Pred determinant môžeme vybrať číslo „c“, ktorým je vynásobený niektorý riadok.
  • 8)    Násobiť determinant číslom „c“, znamená vynásobiť týmto číslom niektorý jeho riadok.( Len jediný riadok) c <>0

Poznámka:

Uvedené vlastnosti platia aj pre stĺpce determinantu.


3.Vyčíslite determinanty:

determinant-3z.gif

Riešenie:

determinant-3r.gif


4. Vyčíslite determinanty:

determinant-4z.gif

Riešenie:

determinant-4r.gif


5.Vyčíslite determinanty:

determinant-5z.gif

Riešenie:

determinant-5r.gif


6. V množine R riešte rovnice:

determinant-6z.gif

Riešenie:

determinant-6r.gif


7.V množine R riešte rovnice:

determinant-7z.gif

Riešenie:

determinant-7r.gif


8.Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ktorý má vrcholy:

A[3;2], B[6;3], C[4;7]

Riešenie:

determinant-8.gif

Obsah trojuholníka ABC je 7j2


9. Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ktorého strany majú rovnice:

determinant-9z.gif

Riešenie:

determinant-9r.gif

Obsah trojuholníka ABC je 19j2


10.Zistite, či body A, B, C ležia na jednej priamke, ak:

A[1;4], B[3;0], C[0;6]

Riešenie:

Podmienka aby body A[xa;ya], B[xb;yb], C[xc;yc] ležali na jednej priamke je

determinant-10.gif

D=0 => Body A,B,C ležia na jednej priamke


11.Zistite, či body A,B,C ležia na jednej priamke, ak platí:

A[1;1], B[0;4], C[4;3]

Riešenie:

 determinant-11.gif

D <> 0 => Body neležia na jednej priamke


12.Dané sú body A,B,C. Zistite prvú súradnicu bodu B tak, aby body A,B,C ležali na jednej priamke. Platí:

A[0;3], B[xB;-1], C[-3;9]

Riešenie:

determinant-12.gif


13.Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodmi A, B ak platí:

A[3;2], B[0;4]

Riešenie:

Nech body  A[xa;ya], B[xb;yb], X[x,y] ležia na priamke p, potom

determinant-13.gif


14.Napíšte rovnice strán trojuholníka ABC s vrcholmi

A[4;2], B[7;3], C[1;6]

Riešenie:

determinant-14.gif


15.Vypočítajte vektorový súčin dvoch vektorov:

determinant-15z.gif

Riešenie:

determinant-15r.gif


16.Riešte sústavy lineárnych rovníc:

determinant-16z

Riešenie:

Cramerovo pravidlo 1.

determinant-16r.gif

Sústava nemá riešenie


17.Riešte sústavu lineárnych rovníc:

determinant-17z

Riešenie:

Cramerovo pravidlo 2.

determinant-17r 


18. Riešte sústavu lineárnych rovníc:

determinant-18z

Riešenie:

determinant-18r


19.K danému determinantu D určite algebraický doplnok A23

determinant-19z

Riešenie:

determinant-19r


20. Vyčíslite determinant:

determinant-20z

Riešenie:

determinant-20r


21. Vyčíslite determinant:

determinant-21z

Riešenie:

Rozpis podľa štvrtého riadku:

determinant-21r


22.Zistite, či body A,B,C,D ležia v jednej rovine ak:

A[2;2;-2], B[1;1;4], C[0;2;0],D[3;1;2]

Riešenie:

Podmienka:

determinant-22ra

Riešenie:

determinant-22rb

Rozpis podľa tretieho riadku:

determinant-22rc

Body A,B,C,D ležia v jednej rovine.


23.Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je daná bodmi A,B,C ak platí

A[0;0;5], B[-2;0;1], C[1;2;4]

Riešenie:

Rovnica roviny:

determinant-23ra

Riešenie:

determinant-23rb

Rozpis podľa druhého riadku:

 determinant-23rc


24.Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A,B,C, ak

A[2;1;2], B[1;-2;3], C[0;0;0]

Riešenie:

determinant-24ra

Rozpis podľa štvrtého riadku:

determinant-24rb 


25.Riešte sústavu rovníc:

x + y + z + u = 10

x + y – z – u = 4

x – y + z – u = 2

x – y – z + u = 0

Riešenie:

determinant-25.gif