cz|en|

Matice

1. Aké sú základné vlastnosti matíc.

Riešenie:

Obdĺžniková schéma m, n reálnych čísiel usporiadaných do m riadkov a n stĺpcov sa nazýva matica (typu m,n) .Ak m = n je to štvorcová matica n – tého stupňa. Čísla a11 , a32, ... amn sa nazývajú prvky matice.

matice-1a.gif 

 Nulová matica:                    Jednotková matica:

matice-1b.gif matice-1b.gif 
Inverzná matica A–1:
matice-1c.gif

Súčet matíc A + B

matice-1d.gif 



2. Vysvetlite postup pri násobení dvoch matíc.

Riešenie:

Súčin dvoch matíc má len vtedy zmysel, keď ľavá matica má toľko stĺpcov, ako má pravá matica riadkov. Takéto matice sa nazývajú „komformabilné“.
Súčin matíc nie je komutatívny!

Násobenie matice číslom :
matice-2a.gif
Súčin matíc A.B

matice-2b.gif


3.Spočítajte matice A+B  a M+N ak platí

matice-3z.gif

Riešenie:

matice-3r.gif


4.Vynásobte matice  A.B a C.D  ak platí :

matice-4z.gif

Riešenie:

matice-4r.gif


5.Ukážte, že súčin matíc nie je komutatívny.


matice-5z.gif

Riešenie:

matice-5r.gif


6.Daná je matica A. Zistite maticu A2 ak platí :

matice-6z.gif

Riešenie:

matice-6r.gif


7.Daná je matica B. Zistite maticu B2 ak platí :

matice-7z.gif

Riešenie:

matice-7r.gif


8.Zistite súčin matíc A.B ak platí:

matice-8z.gif

Riešenie:

matice-8r.gif 


9.Vysvetlite postup pri výpočte inverznej matice A–1 z matice A.

Riešenie:

 matice-9r.gif

Pri skúške musí byť inverzná matica v súčine zľava.

Pre súčin matíc neplatí komutatívny zákon.


10.K matici A zistite inverznú maticu A–1 a urobte skúšku ak platí :


matice-10z.gif

Riešenie:

matice-10r.gif


11.K matici A zistite inverznú maticu A–1 a urobte skúšku ak platí

matice-11z.gif

Riešenie:

matice-11r.gif


12.Vypočítajte inverznú maticu A–1 k matici A, ak platí

matice-12z.gif

Riešenie:

matice-12r.gif


13.Vypočítajte inverznú maticu A–1 k matici A a urobte skúšku  (Pozrite príklad 12), ak platí

matice-13z.gif

Riešenie:

matice-13r.gif


14.Riešte maticovú rovnicu A + X = B ak platí :

matice-14z.gif

Riešenie:

matice-14r.gif


15.Vypočítajte maticu X z rovnice 2A + 3X = B ak platí :


matice-15z.gif

Riešenie:

matice-15r.gif


16.Riešte maticovú rovnicu  A.X = B a urobte skúšku ak platí :

matice-16z.gif

Riešenie:

matice-16r.gif


17.Riešte rovnicu A.X = B a urobte skúšku ak platí :

matice-17z.gif

Riešenie:

matice-17r.gif


18.Vysvetlite postup pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

matice-18z.gif

Riešenie:

matice-18r.gif


19.Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc:

matice-19z.gif

Riešenie:

matice-19r.gif


20.Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc:

matice-20z.gif

Riešenie:

matice-20r.gif


21.Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc:

matice-21z.gif

Riešenie:

matice-21r.gif


22.Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc:

matice-22z.gif

Riešenie:

matice-22r.gif


23.Vysvetlite pojem „hodnosť matice“ a podmienky riešenia sústavy lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Riešenie:

Hodnosť matice h je číslo, ktoré udáva maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa nezmení ak:

  • a.) zameníme poradie jej riadkov
  • b.) ľubovoľný riadok vynásobíme číslom rôznym od nuly
  • c.) k ľubovoľnému riadku pripočítame iný riadok
  • d.) k ľubovoľnému riadku pripočítame lineárnu kombináciu iných riadkov
  • e.) vynecháme riadok, ktorý je lineárnou kombináciou iných riadkov
  • f.) vynecháme nulový riadok
  • g.) vymeníme riadky za stĺpce ( vznikne „transponovaná matica“)

 
Uvedené vlastnosti hodnosti matice platia aj pre stĺpce.


Frobeniova veta:

Sústava lineárnych rovníc má len vtedy riešenie, ak hodnosť matice  sústavy h sa rovná hodnosti jej rozšírenej matici h/.

h = h/

a.)  h = h/  a  h = n     jediné riešenie

b.)  h = h/  a  h<n      nekonečne veľa riešení (n je počet neznámych v sústave)


24.Gaussovou metódou riešte sústavu rovníc:

matice-24z.gif

Riešenie:

matice-24r.gif


25.Riešte sústavu rovníc Gaussovou metódou:

matice-25z.gif

Riešenie:

matice-25r.gif


26.Riešte sústavu lineárnych rovníc  Gaussovou metódou:

x + 2y + 3z =0
2x – y + z = 3
3x + y – z = 5
Riešenie:
matice-26.gif

27.Riešte sústavu rovníc Gaussovou metódou:

matice-27z.gif

Riešenie:

matice-27r.gif


Videoprezentácie sú zdieľané z portálu NAUČ SA MATIKU.