cz|en|

Priamka v priestore

1. Čo vieme o vlastnostiach priamky v priestore?

Riešenie:

priamka-v-priestore-1


2.Napíšte parametrické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza bodom A [2;4;-3], rovnobežne s priamkou BC, ak B [3;2;-1], C [7;1;9]. Zistite, ktorý z bodov M [-1;2;0], N [6;3;7] leží na tejto priamke.

Riešenie:

priamka-v-priestore-2

Na priamke p leží bod N [6;3;7] 


3.Priamka p je rovnobežná s priamkou AB ak A [4;-7;2]. B [-1;3;6] .Určite Yc a Zc tak, aby bod

C [2;Yc;Zc] ležal tiež na tejto priamke.

Riešenie:

priamka-v-priestore-3


4.Daný je trojuholník Δ ABC vrcholmi A [-2;5;4;], B [2;3;-1], C[2;7;-2]. Napíšte parametrické vyjadrenie strán trojuholníka a = BC, b = AC,
c = AB

Riešenie:

priamka-v-priestore-4


5.Daný je bod M [3;2;-1] a parametrické vyjadrenie priamky p

priamka-v-priestore-5z

Napíšte :

a) rovnice priamky q, ktorá prechádza bodom M rovnobežne s p

b) rovnice priamky q, ktorá prechádza bodom M kolmo k p

c) rovnice priamky q, ktorá je rovnobežná s osou y

Riešenie:

priamka-v-priestore-5r


6.Zistite vzájomnú polohu priamok, ktorých parametrické vyjadrenie je

priamka-v-priestore-6z

Riešenie:

priamka-v-priestore-6r
 

Priamky sú mimobežné. (t =1, s = -4 nevyhovuje y-ovej súradnici)


7.Dané sú dve priamky p a q. Zistite ich vzájomnú polohu. Ak sa pretínajú zistite ich priesečník a uhol medzi nimi.

Riešenie:

 priamka-v-priestore-7

Priamky sa pretínajú v bode P [3;5;7] a zvierajú uhol φ =38,210


8.Zistite vzájomnú polohu priamok p a q , ich priesečník a uhol, ktorý zvierajú. Vypočítajte tiež vzdialenosť bodu M [5;-1;4] od priesečníka priamok.

priamka-v-priestore-8z 

Riešenie:

priamka-v-priestore-8r 


9.Rozhodnite, ktorý z bodov A, B leží na priamke p, ak platí

priamka-v-priestore-9z.gif

Riešenie:

priamka-v-priestore-9r

Na priamke p leží bod B[7;-7;6].


10.Napíšte parametrické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza bodmi A[3;-7;2], B[5;-4;1] a určte súradnice x, z bodu C[x;2;z] tak, aby ležal na priamke p.

Riešenie:

priamka-v-priestore-10

Súradnice hľadaného bodu sú C[9;2;-1].


11.Zistite vzájomnú polohu priamok p a q v priestore ak platí:

priamka-v-priestore-11z

Riešenie:

 priamka-v-priestore-11r

Priamky p a q sú rovnobežné.


12.Určite vzájomnú polohu priamok p a q v priestore, ak platí:

priamka-v-priestore-12z

Riešenie:

 priamka-v-priestore-12r

Priamky p a q sú rôznobežné. Pretínajú sa v bode P[-3; 5; -3].


13.Určite odchýlku priamok p a q v priestore, ak platí:

priamka-v-priestore-13z

Riešenie:

priamka-v-priestore-13r 

Odchýlka priamok p a q je α = 300.


14.Určite uhol medzi priamkami p a q v priestore, ak platí:

priamka-v-priestore-14z

Riešenie:

priamka-v-priestore-14r 

Priamky p a q sú rovnobežné.


15.Dané sú body A, B, C. Napíšte parametrické vyjadrenie priamky p, ktorá prechádza stredmi úsečiek AB a BC. Riešte pre body:

priamka-v-priestore-15z

Riešenie:

priamka-v-priestore-15r


16.Vypočítajte vzdialenosť bodu M od priamky p, ak platí:

priamka-v-priestore-16z

Riešenie:

priamka-v-priestore-16r 

Vzdialenosť bodu M od priamky p je 6j.


17.Dané sú priamky p a q. Nájdite vektor, ktorý je kolmý na obidva smerové vektory daných priamok. Riešte pre priamky:

priamka-v-priestore-17z

Riešenie:

priamka-v-priestore-17r


18.Dané sú priamky p a q. Určite „m“ tak, aby priamky boli rôznobežné. Určite ich priesečník.

Riešte pre priamky:

priamka-v-priestore-18z

Riešenie:

priamka-v-priestore-18r

Priamky p a q budú rôznobežné pre m = 3. Ich priesečník je P[-3;6;4].


19.Vypočítajte vzdialenosť bodu M od priesečníka priamok p a q. Riešte pre bod M[2; 3; –23] a priamky:

priamka-v-priestore-19z

Riešenie:

priamka-v-priestore-19r

Vzdialenosť P,M je 25j


20.Daný je bod A[-1;4;2]. Na osi „y“ určite bod M, aby platilo |AM| = 3 Napíšte tiež parametrické vyjadrenie priamky AM.

priamka-v-priestore-20z

Riešenie:

priamka-v-priestore-20r