cz|en|

Vektor v rovine

1. Charakterizujte vlastnosti vektora v rovine:

Riešenie:

vektor-1n

2. Dané sú body A[-2;5], B[1;yB] a C[4;-3].

Určite B, aby platilo:
a) vektory AB a AC sú kolmé
b) vektory AB a AC sú rovnobežné
Riešenie:

vektor-2

3. Daný je vektor v = AB takto: A[1;1], B[b1;b2] a stred vektora S[4;5].

Vypočítajte súradnice bodu B a veľkosť vektora.
Riešenie:

vektor-3

Bod B má súradnice B[7;9]. Veľkosť vektora je 10 jednotiek.

4. Dané sú body A[2;-3] a B[x;0].

Určite x, aby pre veľkosť vektora platilo |AB| = 5.
Riešenie:

vektor-4

Súradnice bodu B sú: B[6;0] alebo B[-2;0].

5. Dokážte, že trojuholník, ktorého vrcholy sú body A[-3;-2], B[1;4] a C[-5;0] je rovnoramenný.

Riešenie:

vektor-5

Pretože |u| = |w|, trojuholník ΔABC je rovnoramenný.

6. Dané sú vektory a = (3;-2) a b = (-1;5).

Určite vektor c, pre ktorý platí:
a.c = 17
b.c = 3
Riešenie:

vektor-6

Hľadaný vektor je c = (7;2).

7. Nájdite vektor v, kolmý na vektor u = (3;4) a ktorého veľkosť je 15.

Riešenie:

vektor-7

Vektor je v = (-12;9) alebo v = (12;-9).

8. Vrcholy trojuholníka ΔABC tvoria body A[1;1], B[2;-1] a C[3;2].

Vypočítajte veľkosti jeho vnútorných uhlov.
Riešenie:

vektor-8

Vnútorné uhly trojuholníka sú: α = 90°, β = 45° a γ = 45°.

9. Na súradnicových osiach nájdite bod, ktorý má od bodu A [4;-6] vzdialenosť 5.

Riešenie:

vektor-9

Na osi y vyhovujú body M[0;-3] a N[0;-9]. Na osi x takýto bod nie je.

10.Vrcholy štvoruholníka sú v bodoch: A[0;0], B[3;-4], C[6;0] a D[3;4].

Dokážte, že štvoruholník ABCD je kosoštvorec.
Riešenie:

vektor-10

Štvoruholník ABCD je kosoštvorec, lebo spĺňa obidve podmienky.

11.Body A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC. Ukážte, že trojuholník ABC je rovnostranný. Vypočítajte jeho obsah.

vektor-v-rovine-11z.gif

Riešenie:

 vektor-v-rovine-11r.gif

Trojuholník ABC je rovnostranný. Jeho obsah je S = 15,57j2.


12. Body A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC. Stredy strán AC, BC označte M,N. Ukážte, že stredná priečka MN je rovnobežná so stranou AB a že platí MN = 0,5AB.

Riešte pre A[2;2], B[10;4], C[4;8]

Riešenie:

vektor-v-rovine-12-1

Podmienka rovnobežnosti:

vektor-v-rovine-12-2

Vlastnosť MN = 0,5.AB

vektor-v-rovine-12-3


13. Daný je rovnoramenný lichobežník ABCD s vrcholmi

vektor-v-rovine-13z

Určite súradnice bodu D.

Riešenie:

vektor-v-rovine-13r.gif


14.Určite súradnice stredu S a veľkosť polomeru r kružnice, ktorá prechádza bodmi A,B,C. Riešte pre body:

vektor-v-rovine-14z.gif

Riešenie:

vektor-v-rovine-14r.gif


15. Nájdite súradnice ťažiska sústavy štyroch rovnako hmotných telies, ktoré ležia v bodoch A,B,C,D. Ťažisko T je stred úsečky, ktorej koncové body sú v strede vektorov

vektor-v-rovine-15z.gif

Riešenie:

vektor-v-rovine-15r.gif


16.Bod A [2;5] je začiatok sily F, ktorej priemet na súradnicové osi je x = 3; y = 3. Vypočítajte koniec vektora, ktorý zobrazuje silu F.

Určite tiež veľkosť tejto sily!

Riešenie:

vektor-v-rovine-16r-1

Koncový bod sily je vektor-v-rovine-16r-2


17. Dané sú tri body A,B,C

  • a.)    Dokážte, že ležia na jednej priamke
  • b.)    Zistite v akom pomere sú veľkosti vektorov

vektor-v-rovine-17z

Riešenie:

a.)    Podmienka rovnobežnosti:

vektor-v-rovine-17r-1

b.)    Pomer vektorov:

vektor-v-rovine-17r-2

 

Vektory ležia na priamke a sú v pomere vektor-v-rovine-17r-3


18. Rovnoramenný trojuholník ABC má základňu AB s vrcholom A a stredom základne S. Jeho vrchol C leží na osi x. Určite vrcholy trojuholníka B a C.

vektor-v-rovine-18z.gif

Riešenie:

 vektor-v-rovine-18r.gif

Hľadané vrcholy trojuholníka ABC sú B[4;–6] a C[4;0].


19. Je daný vektor u = (5 ;-3) a taký vektor v = (1;yv) že platí

vektor-v-rovine-19z.gif

Určite yv

Riešenie:

vektor-v-rovine-19r-1

 

Vektory sú vektor-v-rovine-19r-2


20. Body A,B,C sú vrcholy trojuholníka ABC a body M,N,P sú stredy strán tohto trojuholníka. Určite súradnice troch vektorov, ktorých umiestnenie splýva s ťažnicami trojuholníka ABC tak, že začiatočný bod je vždy vo vrchole trojuholníka. Vypočítajte veľkosti týchto vektorov.

vektor-v-rovine-20z.gif

Riešenie:

vektor-v-rovine-20r.gif