Vektor v rovine
1. Charakterizujte vlastnosti vektora v rovine:
Riešenie:
2. Dané sú body A[-2;5], B[1;yB] a C[4;-3].
Určite B, aby platilo:
a) vektory AB a AC sú kolmé
b) vektory AB a AC sú rovnobežné
Riešenie:
3. Daný je vektor v = AB takto: A[1;1], B[b1;b2] a stred vektora S[4;5].
Vypočítajte súradnice bodu B a veľkosť vektora.
Riešenie:
Bod B má súradnice B[7;9]. Veľkosť vektora je 10 jednotiek.
4. Dané sú body A[2;-3] a B[x;0].
Určite x, aby pre veľkosť vektora platilo |AB| = 5.
Riešenie:
Súradnice bodu B sú: B[6;0] alebo B[-2;0].
5. Dokážte, že trojuholník, ktorého vrcholy sú body A[-3;-2], B[1;4] a C[-5;0] je rovnoramenný.
Riešenie:
Pretože |u| = |w|, trojuholník ΔABC je rovnoramenný.
6. Dané sú vektory a = (3;-2) a b = (-1;5).
Určite vektor c, pre ktorý platí:
a.c = 17
b.c = 3
Riešenie:
Hľadaný vektor je c = (7;2).
7. Nájdite vektor v, kolmý na vektor u = (3;4) a ktorého veľkosť je 15.
Riešenie:
Vektor je v = (-12;9) alebo v = (12;-9).
8. Vrcholy trojuholníka ΔABC tvoria body A[1;1], B[2;-1] a C[3;2].
Vypočítajte veľkosti jeho vnútorných uhlov.
Riešenie:
Vnútorné uhly trojuholníka sú: α = 90°, β = 45° a γ = 45°.
9. Na súradnicových osiach nájdite bod, ktorý má od bodu A [4;-6] vzdialenosť 5.
Riešenie:
Na osi y vyhovujú body M[0;-3] a N[0;-9]. Na osi x takýto bod nie je.
10.Vrcholy štvoruholníka sú v bodoch: A[0;0], B[3;-4], C[6;0] a D[3;4].
Dokážte, že štvoruholník ABCD je kosoštvorec.
Riešenie:
Štvoruholník ABCD je kosoštvorec, lebo spĺňa obidve podmienky.
11.Body A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC. Ukážte, že trojuholník ABC je rovnostranný. Vypočítajte jeho obsah.
Riešenie:
Trojuholník ABC je rovnostranný. Jeho obsah je S = 15,57j2.
12. Body A, B, C sú vrcholy trojuholníka ABC. Stredy strán AC, BC označte M,N. Ukážte, že stredná priečka MN je rovnobežná so stranou AB a že platí MN = 0,5AB.
Riešte pre A[2;2], B[10;4], C[4;8]
Riešenie:
Podmienka rovnobežnosti:
Vlastnosť MN = 0,5.AB
13. Daný je rovnoramenný lichobežník ABCD s vrcholmi
Určite súradnice bodu D.
Riešenie:
14.Určite súradnice stredu S a veľkosť polomeru r kružnice, ktorá prechádza bodmi A,B,C. Riešte pre body:
Riešenie:
15. Nájdite súradnice ťažiska sústavy štyroch rovnako hmotných telies, ktoré ležia v bodoch A,B,C,D. Ťažisko T je stred úsečky, ktorej koncové body sú v strede vektorov
Riešenie:
16.Bod A [2;5] je začiatok sily F, ktorej priemet na súradnicové osi je x = 3; y = 3. Vypočítajte koniec vektora, ktorý zobrazuje silu F.
Určite tiež veľkosť tejto sily!
Riešenie:
Koncový bod sily je
17. Dané sú tri body A,B,C
- a.) Dokážte, že ležia na jednej priamke
- b.) Zistite v akom pomere sú veľkosti vektorov
Riešenie:
a.) Podmienka rovnobežnosti:
b.) Pomer vektorov:
Vektory ležia na priamke a sú v pomere
18. Rovnoramenný trojuholník ABC má základňu AB s vrcholom A a stredom základne S. Jeho vrchol C leží na osi x. Určite vrcholy trojuholníka B a C.
Riešenie:
Hľadané vrcholy trojuholníka ABC sú B[4;–6] a C[4;0].
19. Je daný vektor u = (5 ;-3) a taký vektor v = (1;yv) že platí
Určite yv
Riešenie:
Vektory sú
20. Body A,B,C sú vrcholy trojuholníka ABC a body M,N,P sú stredy strán tohto trojuholníka. Určite súradnice troch vektorov, ktorých umiestnenie splýva s ťažnicami trojuholníka ABC tak, že začiatočný bod je vždy vo vrchole trojuholníka. Vypočítajte veľkosti týchto vektorov.
Riešenie: