cz|en|

Dôkazy

1. Ako dokazujeme pravdivosť matematickej vety?

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-1n

Videoprezentácie sú zdieľané z portálu NAUČ SA MATIKU.






2.Priamym dôkazom dokážte vetu:

matematicka-logika-dokazy-2z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-2r

Čo platí podľa predpokladu.


3.Priamym dôkazom dokážte vetu:


matematicka-logika-dokazy-3z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-3r  

Platí pre všetky  a,b z R+


4.Priamym dôkazom dokážte vetu:

matematicka-logika-dokazy-4z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-4r

Platí vždy, lebo súčet troch štvorcov troch reálnych čísiel je vždy kladný. Rovnosť platí ak a = b = c.


5.Priamym dôkazom dokážte vetu:

matematicka-logika-dokazy-5z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-5r 

Veta platí. Z troch za sebou idúcich prirodzených čísiel (a – 1), a, (a + 1), jedno je deliteľné 2 a jedno deliteľné 3. Teda ich súčin je deliteľný 6.


6.Nepriamym dôkazom dokážte vetu: Ak a2 je prirodzené číslo deliteľná 3, potom aj a je prirodzené číslo deliteľná 3.

Riešenie:

B‘ => A‘:

Ak a nie je deliteľné tromi, potom aj a2 nie je deliteľné 3.

1)    a = 3k + 1

a2= (3k + 1 )2

a2= 9k2 +6k +1

a2= 3(3k2 + 2k) +1

a2= 3m + 1    –    platí m = 3k2 +2k

 

2)    a = 3k + 2

a2= (3k + 2)2

a2= 9k2 +12k +4

a2= 3(3k2 +4k +1) +1

a2= 3m +1    –    platí m = 3k2 + 4k +1

Tým sme dokázali, že pôvodná veta platí.


7.Nepriamym dôkazom dokážte vetu: pre prirodzené číslo a platí: Ak a4 + 2 nie je deliteľné 3, potom a je deliteľné 3.

Riešenie:

B‘ => A‘:

Ak a nie je deliteľné 3, potom a4 + 2 je deliteľné 3

1)

  a = 3k + 1

  a4 +2 = (3k +1)4 +2

matematicka-logika-dokazy-7

Pre a = 3k +2 spravte dôkaz sami .

Pôvodná veta platí.


8.Dokážte sporom vetu: Pre všetky kladné reálne čísla a, b platí:

matematicka-logika-dokazy-8zn

Dôkaz:

matematicka-logika-dokazy-8rn
 

Negovaná veta neplatí pre žiadne kladné reálne čísla. Platí pôvodná veta.


9.Dokážte sporom vetu : Číslo √3 je iracionálne

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-9rn

Číslo p je deliteľné 3, číslo q je deliteľne 3, teda nie sú nesúdeliteľné. Predpoklad, že √3 je racionálne číslo neplatí. Platí pôvodná veta, že √3 je iracionálne, čo bolo treba dokázať.


10. Matematickou indukciou dokážte vetu: Pre všetky prirodzené čísla n platí:

matematicka-logika-dokazy-10z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-10r 

Tým sme dokázali pravdivosť vety pre všetky prirodzené čísla n.


11.Matematickou indukciou dokážte vetu: Pre všetky prirodzené čísla n platí:

matematicka-logika-dokazy-11z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-11r 

Tým sme dokázali pravdivosť vety pre všetky prirodzené čísla n.


12.Matematickou indukciou dokážte vetu: Pre každé prirodzené číslo n platí:

matematicka-logika-dokazy-12z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-12r 

 

Tým sme dokázali pravdivosť vety pre všetky prirodzené čísla n.


13. Matematickou indukciou dokážte vetu: Pre každé prirodzené číslo n platí:

matematicka-logika-dokazy-13z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-13r

Tým sme dokázali pravdivosť vety pre všetky prirodzené čísla n.


14.Matematickou indukciou dokážte vetu:

matematicka-logika-dokazy-14z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-14r 

Tým sme dokázali pravdivosť vety pre všetky prirodzené čísla n.


15.Matematickou indukciou dokážte vetu:

matematicka-logika-dokazy-15z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-15r

Tým sme dokázali pravdivosť vety pre všetky prirodzené čísla n.


16.Matematickou indukciou dokážte Moivreovu vetu

matematicka-logika-dokazy-16z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-16r

Tým sme dokázali vetu pre všetky prirodzené čísla.


17.Vo vnútri trojuholníka Δ ABC je daný bod U. Dokážte, že platí vzťah

matematicka-logika-dokazy-17z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-17r


18.Dokážte vetu: Ťažnica trojuholníka je menšia ako polovica obvodu.

matematicka-logika-dokazy-18z

Riešenie:

V trojuholníku Δ ABC je |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a. Bod S je stred strany a. |BS| = |SC| = a /2 . Ťažnica na stranu a je ta = |AS|.

matematicka-logika-dokazy-18r


19.Dokážte vetu:

matematicka-logika-dokazy-19z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-19r


20.Rovnostrannému valcu je vpísaná guľa a kužeľ. Podstava kužeľa je zhodná s podstavou valca, vrchol kužeľa je v strede druhej podstavy. Ukážte, že Archimedova úloha platí. (Archimedes asi 287–212 pred n. l.)

matematicka-logika-dokazy-20z

Riešenie:

matematicka-logika-dokazy-20r