Důkazy
1. Jak dokazujeme pravdivost matematické věty?
Řešení:
2.Přímým důkazem dokažte větu:
Řešení:
Co platí podle předpokladu.
3.Přímým důkazem dokažte větu:
Řešení:
Platí pro všechny a,b z R+
4.Přímým důkazem dokažte větu:
Řešení:
Platí vždy, neboť součet tří čtverců tří reálných čísel je vždy kladný. Rovnost platí jestliže a = b = c.
5.Přímým důkazem dokažte větu:
Řešení:
Věta platí. Ze tří za sebou jdoucích přirozených čísel (a - 1), a, (a + 1), jedno je dělitelné 2 a jedno dělitelné 3. Tedy jejich součin je dělitelný 6.
6.Nepřímým důkazem dokažte větu: Pokud a2 je přirozené číslo dělitelná 3, pak i a je přirozené číslo dělitelná 3.
Řešení:
B‘ => A‘:
Pokud a není dělitelné třemi, pak i a2 není dělitelné 3.
1) a = 3k + 1
a2= (3k + 1 )2
a2= 9k2 +6k +1
a2= 3(3k2 + 2k) +1
a2= 3m + 1 – platí m = 3k2 +2k
2) a = 3k + 2
a2= (3k + 2)2
a2= 9k2 +12k +4
a2= 3(3k2 +4k +1) +1
a2= 3m +1 – platí m = 3k2 + 4k +1
Tím jsme dokázali, že původní věta platí.
7.Nepřímým důkazem dokažte větu: Pro přirozené číslo a platí: Pokud a4 + 2 není dělitelné 3, pak a je dělitelné 3.
Řešení:
B‘ => A‘:
Pokud a není dělitelné 3, pak a4 + 2 je dělitelné 3
1)
a = 3k + 1
a4 +2 = (3k +1)4 +2
Pro a = 3k +2 udělejte důkaz sami.
Původní věta platí.
8.Dokažte sporem větu: Pro všechny kladné reálná čísla a, b platí:
Dôkaz:
Negována věta neplatí pro žádné kladná reálná čísla. Platí původní věta.
9.Dokažte sporem větu: Číslo √ 3 je iracionální
Řešení:
Číslo p je dělitelné 3, číslo q je dělitelné 3, tedy nejsou nesoudělná. Předpoklad, že √ 3 je racionální číslo neplatí. Platí původní věta, že √ 3 je iracionální, co bylo třeba dokázat.
10. Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:
Řešení:
Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.
11.Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:
Řešení:
Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.
12.Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:
Řešení:
Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.
13. Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:
Řešení:
Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.
14.Matematickou indukcí dokažte větu:
Řešení:
Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.
15.Matematickou indukcí dokažte větu:
Řešení:
Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.
16.Matematickou indukcí dokažte Moivreovu větu:
Řešení:
Tím jsme dokázali větu pro všechna přirozená čísla.
17.Uvnitř trojúhelníku Δ ABC je dán bod U. Dokažte, že platí vztah:
Řešení:
18.Dokažte větu: těžnice trojúhelníku je menší než polovina obvodu.
Řešení:
V trojúhelníku Δ ABC je | AB | = c, | AC | = b, | BC | = a. Bod S je střed strany a. | BS | = | SC | = a / 2. Těžnice na stranu a je Ta = | AS |.
19.Dokažte větu:
Řešení:
20.Rovnostrannému válci je vepsána koule a kužel. Podstava kužele je shodná s podstavou válce, vrchol kužele je ve středu druhé podstavy. Ukažte, že Archimedova úloha platí. (Archimedes asi 287–212 pred n. l.)
Řešení:
