sk|en|

Důkazy

1. Jak dokazujeme pravdivost matematické věty?

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-1n


2.Přímým důkazem dokažte větu:

matematicka-logika-dokazy-2z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-2r

Co platí podle předpokladu.


3.Přímým důkazem dokažte větu:


matematicka-logika-dokazy-3z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-3r  

Platí pro všechny  a,b z R+


4.Přímým důkazem dokažte větu:

matematicka-logika-dokazy-4z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-4r

Platí vždy, neboť součet tří čtverců tří reálných čísel je vždy kladný. Rovnost platí jestliže a = b = c.


5.Přímým důkazem dokažte větu:

matematicka-logika-dokazy-5z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-5r 

Věta platí. Ze tří za sebou jdoucích přirozených čísel (a - 1), a, (a + 1), jedno je dělitelné 2 a jedno dělitelné 3. Tedy jejich součin je dělitelný 6.


6.Nepřímým důkazem dokažte větu: Pokud a2 je přirozené číslo dělitelná 3, pak i a je přirozené číslo dělitelná 3.

Řešení:

B‘ => A‘:

Pokud a není dělitelné třemi, pak i a2 není dělitelné 3.

1)    a = 3k + 1

a2= (3k + 1 )2

a2= 9k2 +6k +1

a2= 3(3k2 + 2k) +1

a2= 3m + 1    –    platí m = 3k2 +2k

 

2)    a = 3k + 2

a2= (3k + 2)2

a2= 9k2 +12k +4

a2= 3(3k2 +4k +1) +1

a2= 3m +1    –    platí m = 3k2 + 4k +1

Tím jsme dokázali, že původní věta platí.


7.Nepřímým důkazem dokažte větu: Pro přirozené číslo a platí: Pokud a4 + 2 není dělitelné 3, pak a je dělitelné 3.

Řešení:

B‘ => A‘:

Pokud a není dělitelné 3, pak a4 + 2 je dělitelné 3

1)

  a = 3k + 1

  a4 +2 = (3k +1)4 +2

matematicka-logika-dokazy-7

Pro a = 3k +2 udělejte důkaz sami.

Původní věta platí.


8.Dokažte sporem větu: Pro všechny kladné reálná čísla a, b platí:

matematicka-logika-dokazy-8zn

Dôkaz:

matematicka-logika-dokazy-8rn
Negována věta neplatí pro žádné kladná reálná čísla. Platí původní věta. 


9.Dokažte sporem větu: Číslo √ 3 je iracionální

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-9rn

Číslo p je dělitelné 3, číslo q je dělitelné 3, tedy nejsou nesoudělná. Předpoklad, že √ 3 je racionální číslo neplatí. Platí původní věta, že √ 3 je iracionální, co bylo třeba dokázat.


10. Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:

matematicka-logika-dokazy-10z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-10r 

Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.


11.Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:

matematicka-logika-dokazy-11z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-11r 

Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.


12.Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:

matematicka-logika-dokazy-12z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-12r 

 

Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.


13. Matematickou indukcí dokažte větu: Pro všechna přirozená čísla n platí:

matematicka-logika-dokazy-13z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-13r

Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.


14.Matematickou indukcí dokažte větu:

matematicka-logika-dokazy-14z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-14r 

Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.


15.Matematickou indukcí dokažte větu:

matematicka-logika-dokazy-15z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-15r

Tím jsme dokázali pravdivost věty pro všechna přirozená čísla n.


16.Matematickou indukcí dokažte Moivreovu větu:

matematicka-logika-dokazy-16z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-16r

Tím jsme dokázali větu pro všechna přirozená čísla.


17.Uvnitř trojúhelníku Δ ABC je dán bod U. Dokažte, že platí vztah:

matematicka-logika-dokazy-17z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-17r


18.Dokažte větu: těžnice trojúhelníku je menší než polovina obvodu.

matematicka-logika-dokazy-18z

Řešení:

V trojúhelníku Δ ABC je | AB | = c, | AC | = b, | BC | = a. Bod S je střed strany a. | BS | = | SC | = a / 2. Těžnice na stranu a je Ta = | AS |.

matematicka-logika-dokazy-18r


19.Dokažte větu:

matematicka-logika-dokazy-19z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-19r


20.Rovnostrannému válci je vepsána koule a kužel. Podstava kužele je shodná s podstavou válce, vrchol kužele je ve středu druhé podstavy. Ukažte, že Archimedova úloha platí. (Archimedes asi 287–212 pred n. l.)

matematicka-logika-dokazy-20z

Řešení:

matematicka-logika-dokazy-20r