sk|en|

Variace

1. Definujte a charakterizujte variace a variace s opakováním.

Řešení:

Variace

Variace k-té třídy zn prvků je každá uspořádaná k-tice různých prvků vybraných z n-elementární množiny. V k-tici záleží na pořadí prvků. V k-tici se ani jeden z prvků neopakuje.  Počet variací:
variacie1

Variace s opakováním

Variace k-té třídy zn prvků s opakováním je každá uspořádaná k-tice prvků vybraných z n-elementární množiny. V k-tici se mohou prvky libovolně opakovat.
Počet variací s opakováním:

V*(k,n) = nk


2. Daná je množina M = {a,b,c,d}. Z prvků této množiny vytvořte variace 2.triedy bez opakování as opakováním. Vypočtěte jejich počet.

Řešení:

a) Variace:

variacie2a

b) Variace s opakováním:

variacie2b

3. Do školského výboru zvolili 7 žáků. Kolika způsoby se dá z nich vybrat předseda, místopředseda, tajemník a pokladník?

Řešení:


Jsou to variace: n = 7, k = 4
variacie3

Funkcionáři výboru se dají vybrat 840 způsoby.


4. Osm studentů si slíbilo, že si z prázdninových cest vzájemně vyměňují pohlednice.
Kolik pohlednic rozeslali?

Řešení:


Jsou to variace:  n = 8, k = 2
variacie4

Studenti rozeslali 56 pohlednic.


5. Z kolika různých prvků můžeme vytvořit 240 variací 2.triedy?

Řešení:


Jsou to variace: n = x, k = 2
variacie5

Potřebujeme 16 prvků.


6. Pokud se počet prvků zvětší o 2, zvětší se počet variací 3. třídy o 384. Kolik je prvků?

Řešení:


variacie6

Prvků je 8.


7. V kapse je 6 různých lístků označených čísly 1 až 6. Kolika různými způsoby můžeme postupně, s přihlédnutím k pořadí vybrat tři z nich, pokud vybrané lístky do kapsy

  • a) nevracejí.
  • b) vracejí.

Řešení:


a) nevracejí
variacie7a
b) vracejí
variacie7b

Kartičky môžeme z vrecka vybrať 120 alebo 216 spôsobmi.


8.Počet variací bez opakování 3.třídy z x prvků je o 225 menší než počet variací 3. triedy s opakováním ze stejných prvků. Kolik je prvků?

Řešení:


variacie8


9.Počet tříčlenných variací bez opakování je 10 násobkem dvoučlenných variací bez opakování téže množiny prvků. Kolik prvků má tato množina?

Řešení:

Počet prvků množiny: x

variacie-9.gif 

Počet prvků množiny je x = 12


10.Hoďme třemi kostkami - bílou, modrou, žlutou.

  • a.)    Kolik různých výsledků můžeme dostat?
  • b.)    Kolik různých součtů může padnout?
  • c.)    Kolika způsoby může padnout součet 13

Řešení:

a.)    V/(k;n) = nk, V/(3;6) = 63 = 216

b.)    Může padnout součet : 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16; 17;18, n = 16 součtů

c.)    Součet 13:

variacie-10.gif