Dvě přímky v rovině
1. Charakterizujte vlastnosti dvoch priamok v rovine.
Řešení:
Dve priamky p, q v rovine sú:
a) rovnobežné rôzne
b) rovnobežné totožné
c) rôznobežné
Priesečník dvoch rôznobežných priamok P sa určí riešením sústavy ich rovníc.
Uhol dvoch priamok φ sa určí ako uhol ich smerových (normálových) vektorov alebo pomocou ich smerníc kp, kq
Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok d sa určí ako vzdialenosť bodu (ktorý patrí jednej priamke), od druhej priamky.
Os uhla dvoch rôznobežných priamok je priamka, ktorej body majú rovnakú vzdialenosť od obidvoch rôznobežiek. (d
p = d
q)
2. Zistite vzájomnú polohu priamok p a q, ak platí:
Řešení:
Priamky p, q sú rôznobežné a pretínajú sa v bode P[3;2].
3. Zistite vzájomnú polohu priamok p a q, ak platí:
Řešení:
Priamky sú rôznobežné a pretínajú sa v bode P[1;-6].
4. Rovnice strán trojuholníka Δ ABC sú:
a: [x – y + 1 = 0]
b: [2x + 7y – 70 = 0]
c: [7x + 2y -20 = 0]
Vypočítajte vrcholy tohto trojuholníka.
Řešení:
Vrcholy trojuholníka sú A[0;10], B[2;6;] a C[7;8].
5. Protiľahlé strany štvorca ležia na rovnobežných priamkach:
p: [5x - 12y - 65 = 0]
q: [5x - 12y + 26 = 0]
Zistite obsah štvorca.
Řešení:
Strana štvorca je d = 7 jednotiek.
S = d2
S = 72
S = 49 j2
Obsah štvorca je S = 49 j
2.
6. Trojuholník ΔABC je daný stranami:
a: [x + 3y – 7 = 0]
b: [x – y – 3 = 0]
c: [x – 2y + 3 = 0]
Určite:
a) vrcholy trojuholníka
b) stred a polomer kružnice trojuholníku opísanej
Řešení:
7. K bodu M [1;2] zistite bod N [x;y], ktorý je symetrický s priamkou p:[x – y - 1 = 0].
Řešení:
Hľadaný bod N leží na priamke q prechádzajúcej bodom M, kolmo na priamku p.
Body M a N majú od priamky p rovnakú vzdialenosť.
Platí:
p∩q = S, MS = SN
Hľadaný bod je N[3;0].
8. Napíšte rovnicu osi uhla priamok:
p: [3x – 4y – 2 = 0]
q: [5x – 12y + 26 = 0]
Řešení:
Os uhla priamok p a q je priamka, ktorej body majú rovnakú vzdialenosť od obidvoch priamok.
Osi uhla dvoch priamok sú dve (navzájom kolmé):
o1: [7x + 4y - 78 = 0]
o2: [8x - 14y + 13 = 0]
9. Napíšte rovnicu priamky q, ktorá prechádza bodom M [1;3] a zviera s priamkou p :[ 2x – y + 5 = 0] uhol φ = 45°.
Řešení:
Hľadané priamky sú dve:
q1: [x – 3y + 8 = 0]
q2: [3x + y – 6 = 0]
10. Tri susedné dediny majú na pláne túto polohu:
A[2;-1]
B[5;-2]
C[10;3]
V ktorom mieste bude umiestnený spoločný kultúrny dom, ku ktorému má byť zo všetkých troch dedín rovnako ďaleko?
Řešení:
Polohu kultúrneho domu určíme ako priesečník osí strán trojuholníka ΔABC.
Poloha kultúrneho domu bude v bode S[5;3].
11. Nájdite množinu všetkých bodov v rovine, ktoré majú rovnaké vzdialenosti od rovnobežiek:
p: [2x – 3y + 10 = 0]
q: [4x – 6y + 5 = 0]
Řešení:
Hľadaná množina je priamka o: [8x – 12y + 25 = 0].
12. Na priamke p: [5x – 4y - 28 = 0] určite bod, ktorý má od bodov M [1;5] a N [7;-3] rovnakú vzdialenosť.
Řešení:
13. Určite súradnice stredu štvorca ABCD, ak je daný jeho vrchol A[-3;-4] a uhlopriečka BD leží na priamke p: [3x +4y – 25 = 0].
Zadanie img
Řešení:
Súradnice stredu štvorca ABCD sú S[3;4].
14. Určite geometrické miesto bodov, ktorých vzdialenosti od priamok:
p: [3x + 4y - 23 = 0]
q: [12x – 5y – 13 = 0]
sú v pomere dp:dq = 2:3.
Řešení:
Geometrické miesta bodov sú priamky 3x - 206y + 737 = 0 a 237x + 106y - 1027 = 0.