sk|en|

Kvadratura

1.Vysvětlete pojem "kvadratura"

Řešení:

Kvadratura je výpočet obsahu rovinného útvaru, který je ohraničen osou x, dvěma rovnoběžkami s osou yv bodech x1 = a, x2 = b a čárou (přímkou ​​nebo křivkou), která má rovnici y = f (x).

urcity-integral-kvadratura-1

 

2.Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet obsahu

  • a)  čtverce
  • b)  obdélníka

Řešení:

a) Čtverec

Čtverec je ohraničen osou x, přímkou ​​y = aa přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = a.

urcity-integral-kvadratura-2a 

b) Obdélník

Obdélník je ohraničen osou x, přímkou ​​y = ba přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = a.

urcity-integral-kvadratura-2b


3.Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet obsahu

  • a)    rovnoramenného trojúhelníku
  • b)    rovnoramenného lichoběžníku

Řešení:

a) Rovnoramenného trojúhelník

Rovnoramenný trojúhelník má základnu a, výšku v. Nechť S1 je poloviční obsah tohoto trojúhelníku, který je ohraničen osou x, přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = v a přímkou

urcity-integral-kvadratura-3a

b)  Rovnoramenného lichoběžník

Rovnoramenný lichoběžník má horní základnu a, dolní ba výšku v. Nechť S1 je poloviční obsah tohoto lichoběžníku, který je ohraničen osou x, přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = v a přímkou

urcity-integral-kvadratura-3b


4.Vypočítejte obsah útvaru ohraničeného parabolou y = x2 + 1 a přímkou ​​y = 5.

Řešení:

PPrůsečíky přímky y1 = 5 a paraboly y2 = x2 + 1 jsou hranice integrálu

urcity-integral-kvadratura-4 


5.Pomocí určitého integrálu vypočítejte obsah rovinného útvaru ohraničeného parabolami

y = 6 – 4x + x2   a   y = –3 + 8x –2x2.

Řešení:

Průsečíky parabol y1 = 6 - 4x + x2 a y2 = -3 +8 x-2x2 jsou hranice integrálu.

urcity-integral-kvadratura-5 


6. Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu kruhu o poloměru r.

Řešení:

Nejprve dokážeme, že rovnice x = r.cost ay = r.sint jsou parametrické rovnice kružnice.

Důkaz:

x2 + y2 = r2

r2cos2t + r2sin2t = r2

r2(cos2t + sin2t) = r2

r2.1 = r2

r2 = r2 – tvrzení platí

S1 je čtvrtina kruhu, která je ohraničena osou x, osou y (x = 0) a kružnicových obloukem y = r.sint


urcity-integral-kvadratura-6


7.Odvoďte vzorec pro obsah elipsy, jejíž poloosy jsou "a" a "b".

Řešení:

Nejprve dokážeme, že rovnice x = a.cost ay = b.sint jsou parametrické rovnice elipsy.

Důkaz:

urcity-integral-kvadratura-7