Kvadratura
1.Vysvětlete pojem "kvadratura"
Řešení:
Kvadratura je výpočet obsahu rovinného útvaru, který je ohraničen osou x, dvěma rovnoběžkami s osou yv bodech x1 = a, x2 = b a čárou (přímkou nebo křivkou), která má rovnici y = f (x).
2.Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet obsahu
Řešení:
a) Čtverec
Čtverec je ohraničen osou x, přímkou y = aa přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = a.
b) Obdélník
Obdélník je ohraničen osou x, přímkou y = ba přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = a.
3.Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorec pro výpočet obsahu
- a) rovnoramenného trojúhelníku
- b) rovnoramenného lichoběžníku
Řešení:
a) Rovnoramenného trojúhelník
Rovnoramenný trojúhelník má základnu a, výšku v. Nechť S1 je poloviční obsah tohoto trojúhelníku, který je ohraničen osou x, přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = v a přímkou
b) Rovnoramenného lichoběžník
Rovnoramenný lichoběžník má horní základnu a, dolní ba výšku v. Nechť S
1 je poloviční obsah tohoto lichoběžníku, který je ohraničen osou x, přímkami rovnoběžnými s osou yv bodech a = 0, b = v a přímkou
4.Vypočítejte obsah útvaru ohraničeného parabolou y = x2 + 1 a přímkou y = 5.
Řešení:
PPrůsečíky přímky y1 = 5 a paraboly y2 = x2 + 1 jsou hranice integrálu
5.Pomocí určitého integrálu vypočítejte obsah rovinného útvaru ohraničeného parabolami
y = 6 – 4x + x2 a y = –3 + 8x –2x2.
Řešení:
Průsečíky parabol y1 = 6 - 4x + x2 a y2 = -3 +8 x-2x2 jsou hranice integrálu.
6. Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu kruhu o poloměru r.
Řešení:
Nejprve dokážeme, že rovnice x = r.cost ay = r.sint jsou parametrické rovnice kružnice.
Důkaz:
x2 + y2 = r2
r2cos2t + r2sin2t = r2
r2(cos2t + sin2t) = r2
r2.1 = r2
r2 = r2 – tvrzení platí
S1 je čtvrtina kruhu, která je ohraničena osou x, osou y (x = 0) a kružnicových obloukem y = r.sint
7.Odvoďte vzorec pro obsah elipsy, jejíž poloosy jsou "a" a "b".
Řešení:
Nejprve dokážeme, že rovnice x = a.cost ay = b.sint jsou parametrické rovnice elipsy.
Důkaz: