Přímka v rovině
1. Vysvetlite rôzne druhy rovníc priamok v rovine.
- parametrický tvar
- všeobecný tvar
- smernicový tvar
- vzdialenosť bodu od priamky
Řešení:
2. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodmi A[2;7] a B[5;1] v tvare:
a) parametrickom
b) všeobecnom
c) smernicovom
Řešení:
3. Napíšte rovnicu priamky, na ktorej leží os úsečky AB, ak A[1;5] a B[7;3].
Řešení:
4. Napíšte rovnicu priamky, na ktorej leží výška vc v trojuholníku A[5;6], B[-2;4] a C[6;-1].
Řešení:
5. Daná je priamka (2–m)x + 3my + (2m-6) = 0.
Určite m tak, aby:
a) priamka prechádzala počiatkom súradníc
b) priamka bola rovnobežná s osou x
c) priamka bola rovnobežná s osou y
Řešení:
a)
c = 0
2m – 6 = 0
m = 3
(2–3)x + 3.3y = 0
-x + 9y = 0
x – 9y =0
b)
a = 0
2 – m = 0
m = 2
3.2y + 2.2 – 6 =0
6y -2 = 0/:2
3y – 1 =0
c)
b = 0
2m = 0
m = 0
(2-0)x +(2.0 – 6) = 0
2x – 6 = 0/:2
x – 3 = 0
6. Priamka je daná rovnicou p: 4x – 3y +6 = 0
a) zistite, ktorý z bodov A[0;2] a B[-3;5] leží na danej priamke
b) preveďte ju na parametrický tvar
c) vypočítajte vzdialenosť bodu neležiaceho na priamke od tejto priamky
Řešení:
a) A[0;2] leží na priamke p lebo:
4x -3y +6 = 0
4.0 -3.2 +6 = 0
0 = 0
Bod B[-3;5] neleží na priamke p lebo:
4x -3y + 6 =0
4.(-3) -3.5 +6 = -21
–21 ≠ 0
7. Napíšte rovnicu priamky, ktorá je rovnobežná s priamkou p: 5x +12y -1 = 0 a má od nej vzdialenosť d = 5 jednotiek.
Řešení:
Hľadané rovnice priamky sú q1: 5x + 12y - 66 = 0 a q2: 5x + 12y + 64 = 0
8. Trojuholník má vrcholy A[-1;-5], B[9;-1] a C[1;7].
Napíšte:
a) rovnicu strany c = AB
b) rovnicu ťažnice tc
c) rovnicu výšky na stranu c, vc
Řešení:
9. Napíšte rovnicu priamky, ktorá zviera s osou x uhol φ = 135° a prechádza bodom A[3;-1].
Určite úsek, ktorý priamka vytína na osi y.
Řešení:
A[3;-1]
k = tg 135° = -1
y – a2 = k (x –a1)
y + 1 = -1(x –3)
y + 1 = -x + 3
x + y – 2 = 0
M[0;y]:
x + y – 2 = 0
0 + y – 2 = 0
y = 2
M[0; 2]
Rovnica priamky je p: x + y – 2 = 0, úsek na osi y je y = 2.
10. Svetelný lúč vychádza zo zdroja A[-1;-5], odráža sa na osi x ako od zrkadla a prechádza bodom B[9;-5].
Napíšte rovnice dopadajúceho a odrazeného lúča.
Řešení:
Rovnica pre dopadajúci lúč: x –y – 4 = 0
Rovnica pre odrazený lúč: x + y – 4 = 0
11. Dané sú vrcholy trojuholníka A a B a priesečník výšok Q. Určite súradnice vrcholu trojuholníka C, ak platí
Řešení:
Vrchol C má súradnice C [5;-2].
12. Na priamke p nájdite bod C, ktorý je rovnako vzdialený od bodov A,B.
Řešení:
Na priamke p leží bod C[3;6].
13.Vypočítajte dĺžku výšky va v trojuholníku ABC ak jeho strany majú rovnice
Řešení:
14. Protiľahlé strany štvorca ABCD ležia na rovnobežných priamkach
Vypočítajte obvod a obsah tohto štvorca.
Riešenie:
Obvod štvorca ABCD je 28j , jeho obsah je 49j2.
15. Určite obvod a obsah pravouhlého trojuholníka, ktorý priamka 3x + 4y –12 = 0 vytína na súradnicových osiach.
Riešenie:
16. Napíšte rovnicu priamky, ktorá je rovnobežná s priamkou 5x + 12y -1 =0 a má od nej vzdialenosť d = 5.
Řešení:
Hľadané rovnice sú 5x +12y - 66 = 0 a 5x +12y + 64 = 0
17. Vypočítajte vzdialenosť bodu A[2;-4] od priamky 3x + 4y = 0.
Řešení:
Vzdialenosť bodu A od priamky p je d = 2j,
18.Uhlopriečky kosoštvorca u1 = 4, u2 = 6 ležia na súradnicových osiach (u1 na osi x). Napíšte rovnice priamok na ktorých ležia strany kosoštvorca.
Řešení:
Rovnice strán kosoštvorca sú:
19. Určite rovnicu priamky, prechádzajúcej bodom [2;3] tak, aby úsek na osi x sa rovnal polovici úseku na osi y.
Řešení:
20. Dané sú body A[3;-2], B[1;4], C[-1;-3]. Určite bod D tak, aby priamka CD pretínala úsečku AB v jej strede S a aby platilo CD = 3.|CS|.
Řešení:
Podmienke vyhovujú dva body D1[8 ; 9] a D2[-10 ; -15].