Bod, přímka a rovina
1. Vysvětlete v jaké vzájemné poloze může být:
a) bod a rovina
b) přímka a rovina
Řešení:
Bod a rovina.
Bod A [a1; a2; a3] leží v rovině ρ: ax + by + cz + d = 0 jestliže jeho souřadnice splňují rovnici roviny ρ.
Bod A [a1; a2; a3] neleží v rovině ρ: ax+by+cz+d = 0 jestliže jeho souřadnice nesplňují rovnici roviny ρ.
Vzdálenost bodu A [a1; a2; a3] od roviny ρ: ax + by + cz + d = 0 určíme:
Přímka a rovina.
2.Který z bodů A [3, 2, 7], B [0; 2; 1], C [-8; -2; -1] leží v rovině τ: 2x - 3y - 2z +8 = 0. Jaká musí být hodnota x, aby bod M [x; -6; 2] ležel také v dané rovině?
Řešení:
V rovině τ leží body C [-8;-2;-1] a M [-11;-6;2].
3. Zjistěte zda bod A [9; -2; 0] leží v rovině ξ: 3x + 2y - 6Z +26 = 0. Pokud neleží, vypočítejte jeho vzdálenost od dané roviny.
Řešení:
Bod A neleží v rovině ξ . Jeho vzdálenost od této roviny je 7 jednotek.
4.Vypočítejte vzdálenost začátku souřadnicové soustavy od roviny:
Řešení:
Vzdálenost počátku souřadnicové soustavy od roviny υ je asi 2,828 jednotek.
5.Určete vzájemnou polohu rovin ρ a τ. Pokud jsou rovnoběžné různé, určitě i jejich vzdálenost.
Rovnice rovin jsou:
Řešení:
Roviny ρ a τ jsou rovnoběžné různé.
Určení vzdálenosti rovin.
V rovině ρ najdu libovolný bod A a zjistím jeho vzdálenost od roviny τ.
Bod A: volím x = 1, z = 0, 11.1 - 2y - z .0 + 15 = 0 , 2y = 26, y = 13 A [1; 13; 0]:
Roviny jsou rovnoběžné různé. Jejich vzájemná vzdálenost je 4 jednotky.
6.Co musí platit pro souřadnici y bodu A [1; y; 0], aby jeho vzdálenost od roviny τ: 3x - 2y - 6Z = 0 byla 5j.
Řešení:
Podmínkám vyhovují body A[1;-16;0] a A*[1;19;0]
7. Zjistěte vzájemnou polohu a průsečík přímky a roviny, pokud jsou navzájem různoběžné.
Rovina:
τ: x +y + z +1
Přímka:
Řešení:
Přímka protíná rovinu v bodě v bode P [-1;-2;2].
8. Daná je přímka p a rovina ρ. Zjistěte jejich společný bod a odchylku přímky od roviny. Jejich rovnice jsou:
Řešení:
Průsečík přímky s rovinou: Odchylka přímky od roviny:
9.Určete vzájemnou polohu rovin ρ a π, jejichž rovnice jsou:
Řešení:
10.Vypočtěte úhel dvou různoběžných rovin:
Řešení:
11.Určitě společný bod přímky pa roviny τ jestliže platí:
Řešení:
Společný bod přímky p a roviny τ je P[-3; 1; 6].
12.Vzdálenost bodu A od roviny σ představuje stranu čtverce ABCD. Vypočítejte obsah tohoto čtverce jestliže platí:
Řešení:
Obsah čtverce ABCD je S = 49j2.
13.Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin σ a τ jestliže platí:
Řešení:
Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin σ a τ je 4j.
14.Vypočítejte délku výšky sestrojené z vrcholu V v čtyřstěnu ABCV, pokud platí:
Řešení:
Výška čtyřstěnu ABCV je 3 jednotky.
15.Určete reálná čísla a, b, aby roviny π a τ byly rovnoběžné, jestliže platí:
Řešení:
16.Určete vzájemnou polohu rovin σ a η jestliže platí:
Řešení:
Roviny σ a η jsou na seba kolmé.
17.Ukažte, že souřadnicové roviny xy a yz jsou navzájem kolmé.
Řešení:
Souřadnicová rovina xy = ρ
Souřadnicová rovina yz = λ
Souřadnicové roviny xy a yz jsou navzájem kolmé.
18.Určete úhel přímky p s rovinou μ jestliže platí:
Řešení:
Úhel přímky p s rovinou μ je α = 450.
19.Vrcholy čtyřstěnu jsou body A, B, C, D. Určitě odchylku hrany AD od roviny ρ = ABC jestliže platí:
Řešení:
Odchylka hrany AD od roviny ρ je α = 450.
20.Určete vzájemnou polohu tří rovin jestliže platí:
Řešení:
Normálové vektory daných rovin jsou nezávislé. Roviny nejsou rovnoběžné.
Průsečík rovin P [x; y; z]:
Roviny ρ, σ, τ jsou různoběžné. Protínají se v bodě P [3; 0; 4].