sk|en|

Bod, přímka a rovina

1. Vysvětlete v jaké vzájemné poloze může být:

a) bod a rovina

b) přímka a rovina

Řešení:

Bod a rovina.

Bod A [a1; a2; a3] leží v rovině ρ: ax + by + cz + d = 0 jestliže jeho souřadnice splňují rovnici roviny ρ.

Bod A [a1; a2; a3] neleží v rovině ρ: ax+by+cz+d = 0 jestliže jeho souřadnice nesplňují rovnici roviny ρ.

Vzdálenost bodu A [a1; a2; a3] od roviny ρ: ax + by + cz + d = 0 určíme:

bod-priamka-rovina/bod-priamka-rovina-1

 

Přímka a rovina.

bod-priamka-rovina/bod-priamka-rovina-1b 


2.Který z bodů A [3, 2, 7], B [0; 2; 1], C [-8; -2; -1] leží v rovině τ: 2x - 3y - 2z +8 = 0. Jaká musí být hodnota x, aby bod M [x; -6; 2] ležel také v dané rovině?

Řešení:

bod-priamka-rovina-2 

V rovině τ leží body C [-8;-2;-1] a M [-11;-6;2].


3. Zjistěte zda bod A [9; -2; 0] leží v rovině ξ: 3x + 2y - 6Z +26 = 0. Pokud neleží, vypočítejte jeho vzdálenost od dané roviny.

Řešení:

bod-priamka-rovina-3 

Bod A neleží v rovině ξ . Jeho vzdálenost od této roviny je 7 jednotek.


4.Vypočítejte vzdálenost začátku souřadnicové soustavy od roviny:

bod-priamka-rovina-4z

Řešení:

bod-priamka-rovina-4r 

Vzdálenost počátku souřadnicové soustavy od roviny υ je asi 2,828 jednotek.


5.Určete vzájemnou polohu rovin ρ a τ. Pokud jsou rovnoběžné různé, určitě i jejich vzdálenost.

Rovnice rovin jsou:

bod-priamka-rovina-5z

Řešení:

bod-priamka-rovina-5r1 

Roviny ρ a τ jsou rovnoběžné různé.

 

Určení vzdálenosti rovin.

V rovině ρ najdu libovolný bod A a zjistím jeho vzdálenost od roviny τ.
Bod A: volím x = 1, z = 0, 11.1 - 2y - z .0 + 15 = 0 , 2y = 26, y = 13 A [1; 13; 0]:

 bod-priamka-rovina-5r2

Roviny jsou rovnoběžné různé. Jejich vzájemná vzdálenost je 4 jednotky.


6.Co musí platit pro souřadnici y bodu A [1; y; 0], aby jeho vzdálenost od roviny τ: 3x - 2y - 6Z = 0 byla 5j.

Řešení:

 bod-priamka-rovina-6

Podmínkám vyhovují body A[1;-16;0] a A*[1;19;0]


7. Zjistěte vzájemnou polohu a průsečík přímky a roviny, pokud jsou navzájem různoběžné.

Rovina:

τ: x +y + z +1

Přímka:

bod-priamka-rovina-7z

Řešení:

bod-priamka-rovina-7r 

Přímka protíná rovinu v bodě v bode P [-1;-2;2].


8. Daná je přímka p a rovina ρ. Zjistěte jejich společný bod a odchylku přímky od roviny. Jejich rovnice jsou:

bod-priamka-rovina-8z

Řešení:

Průsečík přímky s rovinou:                                      Odchylka přímky od roviny:

bod-priamka-rovina-8r


9.Určete vzájemnou polohu rovin ρ a π, jejichž rovnice jsou:

bod-priamka-rovina-9z

Řešení:

bod-priamka-rovina-9r


10.Vypočtěte úhel dvou různoběžných rovin:

bod-priamka-rovina-10z

Řešení:

bod-priamka-rovina-10r


11.Určitě společný bod přímky pa roviny τ jestliže platí:

bod-priamka-rovina-11z

Řešení:

bod-priamka-rovina-11r 

Společný bod přímky p a roviny τ je P[-3; 1; 6].


12.Vzdálenost bodu A od roviny σ představuje stranu čtverce ABCD. Vypočítejte obsah tohoto čtverce jestliže platí:

bod-priamka-rovina-12z

Řešení:

bod-priamka-rovina-12r 

Obsah čtverce ABCD je S = 49j2.


13.Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin σ a τ jestliže platí:

bod-priamka-rovina-13z

Řešení:

bod-priamka-rovina-13r 

Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin σ a τ je 4j.


14.Vypočítejte délku výšky sestrojené z vrcholu V v čtyřstěnu ABCV, pokud platí:

bod-priamka-rovina-14z

Řešení:

bod-priamka-rovina-14r

Výška čtyřstěnu ABCV je 3 jednotky.


15.Určete reálná čísla a, b, aby roviny π a τ byly rovnoběžné, jestliže platí:

bod-priamka-rovina-15z

Řešení:

bod-priamka-rovina-15r


16.Určete vzájemnou polohu rovin σ a η jestliže platí:

bod-priamka-rovina-16z

Řešení:

bod-priamka-rovina-16r

Roviny σ a η jsou na seba kolmé.


17.Ukažte, že souřadnicové roviny xy a yz jsou navzájem kolmé.

Řešení:

Souřadnicová rovina xy = ρ

bod-priamka-rovina-17z1 

Souřadnicová rovina  yz = λ

bod-priamka-rovina-17z2 

bod-priamka-rovina-17r 

Souřadnicové roviny xy a yz jsou navzájem kolmé.


18.Určete úhel přímky p s rovinou μ jestliže platí:

bod-priamka-rovina-18z

Řešení:

bod-priamka-rovina-18r 

Úhel přímky p s rovinou μ je α = 450.


19.Vrcholy čtyřstěnu jsou body A, B, C, D. Určitě odchylku hrany AD od roviny ρ = ABC jestliže platí:

bod-priamka-rovina-19z

Řešení:

bod-priamka-rovina-19r 

Odchylka hrany AD od roviny ρ je α = 450.


20.Určete vzájemnou polohu tří rovin jestliže platí:

bod-priamka-rovina-20z

Řešení:

bod-priamka-rovina-20r1 


Normálové vektory daných rovin jsou nezávislé. Roviny nejsou rovnoběžné.

Průsečík rovin P [x; y; z]:

 

bod-priamka-rovina-20r2 

Roviny ρ, σ, τ jsou různoběžné. Protínají se v bodě P [3; 0; 4].