cz|en|

Bod, priamka a rovina

1. Vysvetlite v akej vzájomnej polohe môže byť :

a) bod a rovina

b) priamka a rovina

Riešenie:

Bod a rovina.

Bod A[a1; a2; a3] leží v rovine ρ: a.x +by + cz +d = 0 ak jeho súradnice spĺňajú rovnicu roviny ρ .

Bod A[a1; a2; a3] neleží v rovine ρ: ax +by + cz +d = 0 ak jeho súradnice nespĺňajú rovnicu roviny ρ.

Vzdialenosť bodu A[a1; a2; a3] od roviny ρ: ax +by + cz +d = 0 určíme:

bod-priamka-rovina/bod-priamka-rovina-1

 

Priamka a rovina.

bod-priamka-rovina/bod-priamka-rovina-1b 


2.Ktorý z bodov A [3;2;7], B[0;2;1], C[-8;-2;-1] ležia v rovine τ : 2x – 3y – 2z+8 = 0. Aká musí byť hodnota x, aby bod M[x;-6;2] ležal tiež v danej rovine?

Riešenie:

bod-priamka-rovina-2 

V rovine τ ležia body C [-8;-2;-1] a M [-11;-6;2].


3. Zistite či bod A[9;-2;0] leží v rovine ξ: 3x + 2y – 6z +26 = 0. Ak neleží, vypočítajte jeho vzdialenosť od danej roviny.

Riešenie:

bod-priamka-rovina-3 

Bod A neleží v rovine ξ . Jeho vzdialenosť od tejto roviny je 7 jednotiek. 


4.Vypočítajte vzdialenosť začiatku súradnicovej sústavy od roviny:

bod-priamka-rovina-4z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-4r 

Vzdialenosť začiatku súradnicovej sústavy od roviny υ je asi 2,828 jednotiek.


5.Určite vzájomnú polohu rovín ρ a τ. Ak sú rovnobežné rôzne, určite aj ich vzdialenosť. Rovnice rovín sú:

bod-priamka-rovina-5z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-5r1 

Roviny ρ a τ sú rovnobežné rôzne

 

Určenie vzdialenosti rovín.

V rovine ρ nájdem ľubovoľný bod A a zistím jeho vzdialenosť od roviny τ . Bod A : volím x = 1, z = 0, 11.1 - 2y - z.0 + 15 = 0 , 2y = 26, y = 13 A[1; 13; 0]:

bod-priamka-rovina-5r2

Roviny sú rovnobežné rôzne. Ich vzájomná vzdialenosť je 4 jednotky.


6.Čo musí platiť pre súradnicu y bodu A [1;y;0], aby jeho vzdialenosť od roviny τ: 3x – 2y – 6z = 0 bola 5j.

Riešenie:

 bod-priamka-rovina-6

Podmienkam vyhovujú body A[1;-16;0] a A*[1;19;0]


7. Ziastite vzájomnú polohu a priesečník priamky a roviny, ak sú navzájom rôznobežné.

Rovina:

τ: x +y + z +1

Priamka:

bod-priamka-rovina-7z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-7r 

Priamka pretína rovinu v bode P [-1;-2;2].


8. Daná je priamka p a rovina ρ . Zistite ich spoločný bod a odchylku priamky od roviny. Ich rovnice sú:

bod-priamka-rovina-8z

Riešenie:

 

Priesečník priamky s rovinou :                               Odchýlka priamky od roviny:

bod-priamka-rovina-8r


9.Určite vzájomnú polohu rovín ρ a π , ktorých rovnice sú:

bod-priamka-rovina-9z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-9r


10.Vypočítajte uhol dvoch rôznobežných rovín:

bod-priamka-rovina-10z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-10r


11.Určite spoločný bod priamky p a roviny τ ak platí:

bod-priamka-rovina-11z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-11r 

Spoločný bod priamky p a roviny τ je P[-3; 1; 6].


12.Vzdialenosť bodu A od roviny σ predstavuje stranu štvorca ABCD. Vypočítajte obsah tohto štvorca ak platí:

bod-priamka-rovina-12z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-12r 

Obsah štvorca ABCD je S = 49j2.


13.Vypočítajte vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín σ a τ ak platí:

bod-priamka-rovina-13z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-13r 

Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín σ a τ je 4j.


14.Vypočítajte dĺžku výšky zostrojenej z vrchola V v štvorstena ABCV, ak platí:

bod-priamka-rovina-14z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-14r

Výška štvorstena ABCV je 3 jednotky.


15.Určite reálne čísla a, b, aby roviny π a τ boli rovnobežné, ak platí:

bod-priamka-rovina-15z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-15r


16.Určite vzájomnú polohu rovín σ a η ak platí:

bod-priamka-rovina-16z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-16r

Roviny σ a η sú na seba kolmé.


17.Ukážte, že súradnicové roviny xy a yz sú navzájom kolmé.

Riešenie:

Súradnicová rovina xy = ρ

bod-priamka-rovina-17z1 

Súradnicová rovina yz = λ

bod-priamka-rovina-17z2 

bod-priamka-rovina-17r 

Súradnicové roviny xy a yz sú navzájom kolmé.


18.Určite uhol priamky p s rovinou μ ak platí:

bod-priamka-rovina-18z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-18r 

Uhol priamky p s rovinou μ je α = 450.


19.Vrcholy štvorstena sú body A,B,C,D. Určite odchýlku hrany AD od roviny ρ = ABC ak platí:

bod-priamka-rovina-19z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-19r 

Odchýlka hrany AD od roviny ρ je α = 450.


20.Určite vzájomnú polohu troch rovín ak platí:

bod-priamka-rovina-20z

Riešenie:

bod-priamka-rovina-20r1 

Normálové vektory daných rovín sú nezávislé. Roviny nie sú rovnobežné.

Priesečník rovín P [x; y; z]:

bod-priamka-rovina-20r2 

Roviny ρ, σ, τ sú rôznobežné. Pretínajú sa v bode P[3; 0; 4].