Bod, priamka a rovina
1. Vysvetlite v akej vzájomnej polohe môže byť :
a) bod a rovina
b) priamka a rovina
Riešenie:
Bod a rovina.
Bod A[a1; a2; a3] leží v rovine ρ: a.x +by + cz +d = 0 ak jeho súradnice spĺňajú rovnicu roviny ρ .
Bod A[a1; a2; a3] neleží v rovine ρ: ax +by + cz +d = 0 ak jeho súradnice nespĺňajú rovnicu roviny ρ.
Vzdialenosť bodu A[a1; a2; a3] od roviny ρ: ax +by + cz +d = 0 určíme:
Priamka a rovina.
2.Ktorý z bodov A [3;2;7], B[0;2;1], C[-8;-2;-1] ležia v rovine τ : 2x – 3y – 2z+8 = 0. Aká musí byť hodnota x, aby bod M[x;-6;2] ležal tiež v danej rovine?
Riešenie:
V rovine τ ležia body C [-8;-2;-1] a M [-11;-6;2].
3. Zistite či bod A[9;-2;0] leží v rovine ξ: 3x + 2y – 6z +26 = 0. Ak neleží, vypočítajte jeho vzdialenosť od danej roviny.
Riešenie:
Bod A neleží v rovine ξ . Jeho vzdialenosť od tejto roviny je 7 jednotiek.
4.Vypočítajte vzdialenosť začiatku súradnicovej sústavy od roviny:
Riešenie:
Vzdialenosť začiatku súradnicovej sústavy od roviny υ je asi 2,828 jednotiek.
5.Určite vzájomnú polohu rovín ρ a τ. Ak sú rovnobežné rôzne, určite aj ich vzdialenosť. Rovnice rovín sú:
Riešenie:
Roviny ρ a τ sú rovnobežné rôzne
Určenie vzdialenosti rovín.
V rovine ρ nájdem ľubovoľný bod A a zistím jeho vzdialenosť od roviny τ . Bod A : volím x = 1, z = 0, 11.1 - 2y - z.0 + 15 = 0 , 2y = 26, y = 13 A[1; 13; 0]:
Roviny sú rovnobežné rôzne. Ich vzájomná vzdialenosť je 4 jednotky.
6.Čo musí platiť pre súradnicu y bodu A [1;y;0], aby jeho vzdialenosť od roviny τ: 3x – 2y – 6z = 0 bola 5j.
Riešenie:
Podmienkam vyhovujú body A[1;-16;0] a A*[1;19;0]
7. Ziastite vzájomnú polohu a priesečník priamky a roviny, ak sú navzájom rôznobežné.
Rovina:
τ: x +y + z +1
Priamka:
Riešenie:
Priamka pretína rovinu v bode P [-1;-2;2].
8. Daná je priamka p a rovina ρ . Zistite ich spoločný bod a odchylku priamky od roviny. Ich rovnice sú:
Riešenie:
Priesečník priamky s rovinou : Odchýlka priamky od roviny:
9.Určite vzájomnú polohu rovín ρ a π , ktorých rovnice sú:
Riešenie:
10.Vypočítajte uhol dvoch rôznobežných rovín:
Riešenie:
11.Určite spoločný bod priamky p a roviny τ ak platí:
Riešenie:
Spoločný bod priamky p a roviny τ je P[-3; 1; 6].
12.Vzdialenosť bodu A od roviny σ predstavuje stranu štvorca ABCD. Vypočítajte obsah tohto štvorca ak platí:
Riešenie:
Obsah štvorca ABCD je S = 49j2.
13.Vypočítajte vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín σ a τ ak platí:
Riešenie:
Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín σ a τ je 4j.
14.Vypočítajte dĺžku výšky zostrojenej z vrchola V v štvorstena ABCV, ak platí:
Riešenie:
Výška štvorstena ABCV je 3 jednotky.
15.Určite reálne čísla a, b, aby roviny π a τ boli rovnobežné, ak platí:
Riešenie:
16.Určite vzájomnú polohu rovín σ a η ak platí:
Riešenie:
Roviny σ a η sú na seba kolmé.
17.Ukážte, že súradnicové roviny xy a yz sú navzájom kolmé.
Riešenie:
Súradnicová rovina xy = ρ
Súradnicová rovina yz = λ
Súradnicové roviny xy a yz sú navzájom kolmé.
18.Určite uhol priamky p s rovinou μ ak platí:
Riešenie:
Uhol priamky p s rovinou μ je α = 450.
19.Vrcholy štvorstena sú body A,B,C,D. Určite odchýlku hrany AD od roviny ρ = ABC ak platí:
Riešenie:
Odchýlka hrany AD od roviny ρ je α = 450.
20.Určite vzájomnú polohu troch rovín ak platí:
Riešenie:
Normálové vektory daných rovín sú nezávislé. Roviny nie sú rovnobežné.
Priesečník rovín P [x; y; z]:
Roviny ρ, σ, τ sú rôznobežné. Pretínajú sa v bode P[3; 0; 4].