Pravdepodobnosť

1. Definujte a charakterizujte pravdepodobnosť.

Riešenie:

a) Klasická definícia pravdepodobnosti

Nech náhodný pokus spĺňa predpoklady

• počet všetkých výsledkov je konečný
• všetky výsledky sú rovnako možné
• žiadne dva výsledky nemôžu nastať súčasne

Pravdepodobnosť javu A je číslo , kde n je počet všetkých možných výsledkov náhodného pokusu a m je počet všetkých priaznivých výsledkov, t.j. výsledkov, pri ktorých nastane jav A.

Platí : 0 ≤ P(A) ≤ 1
Pravdepodobnosť nemožného javu : P(A) = 0
Pravdepodobnosť istého javu: P(A) = 1

b) Podmienená pravdepodobnosť udalosti A za podmienky B je číslo:



c) Pravdepodobnosť nezávislých javov:

P(A∩B) = P(A)P(B)

d) Pravdepodobnosť nezlučiteľných javov:

P(AUB) = P(A) + P(B)

e) Binomické rozdelenie pravdepodobnosti:

Nech A je jav s pravdepodobnosťou P. Potom pravdepodobnosť, že pri n-násobnom opakovaní pokusu, jav A nastane práve k- krát je číslo:



f) Hypergeometrické rozdelenie pravdepodobnosti.

Nech V predmetov vybraných z N predmetov má určitú vlastnosť, potom N-V predmetov túto vlastnosť nemá.
Pravdepodobnosť, že práve k predmetov spomedzi n náhodne vybraných predmetov túto vlastnosť má, je číslo:

2. Z osemnástich lístkov očíslovaných 1 - 18 vytiahneme náhodne jeden lístok. Aká je pravdepodobnosť, že na vytiahnutom lístku bude:

Riešenie:

3. Aká je pravdepodobnosť že pri hode dvoma kockami (červenej a modrej) padne:

Riešenie:

4. Hazardný hráč hádžuci tromi kockami, položil G. Galileiovi otázku : „Mám staviť na súčet 11 alebo súčet 12?“ Čo mu Galilei odpovedal?

5. Dlhodobé výskumy na istom území ukázali, že zo 100 000 detí sa 82 170 dožije 40 rokov a 37 930 sa dožije 70 rokov. Aká je pravdepodobnosť, že človek, ktorý sa dožije 40 rokov, dožije sa aj 70 rokov?

Riešenie:

(Ide o podmienenú pravdepodobnosť)

A – dožiť sa 70 rokov, P(A) = 0,3793
B – dožiť sa 40 rokov, P(B) = 0,8217



Pravdepodobnosť, že sa človek dožije 70 rokov je 46%.

6. V meste sú štyri križovatky so svetelnými semafórmi. Každý z nich uvoľňuje alebo uzatvára dopravu s rovnakou pravdepodobnosťou 0,5. Aká je pravdepodobnosť, že auto:

Riešenie:

7. V 32 hracích kartách sú 4 esá a 12 figúr (4 králi, 4 horníci a 4 dolníci). Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá jedna karta bude eso alebo figúra?

Riešenie:

Ide o pravdepodobnosť nezlučiteľných javov

A – vytiahnutá karta ja eso
B - vytiahnutá karta je figúra


Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude eso alebo figúra je 50%.

8. Otcovia sú šťastní, keď sa im narodí syn. Z dlhodobých štatistík je známe, že pravdepodobnosť narodenia chlapca je P(A) = 0,51.

Riešenie:

Ide o binomické rozdelenie pravdepodobnosti.
n = 5, k = 3, P = 0,51



Otcovi sa prianie splní s pravdepodobnosťou 31,8 %.

9. V šestnástich fľašiach sú minerálky. Vieme, že v 10 fľašiach je Slatina a v 6 fľašiach je Baldovská. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 4 náhodne vybratými fľašami sú 2 Slatiny a 2 Baldovaké?

Riešenie:

Ide o hypergeometrické rozdelenie pravdepodobvosti.

N = 16 (počet všetkých fliaš)
V = 10 (počet fliaš Slatiny)
N-V = 6 (počet fliaš Baldovskej)
n = 4 (počet náhodne vybratých fliaš)
k = 2 (vybraté Slatiny)
n – k = 2 (vybraté Baldovské)



Predpoklad bude splnený s pravdepodobnosťou P(A) = 37 %.

10. V hazardnej číselnej hre sa losuje 6 čísiel zo 49 čísiel. Aká je pravdepodobnosť získať:

Riešenie:

a) Štvrté poradie (uhádnuť 3 čísla zo 6 vylosovaných)


b) Tretie poradie (uhádnuť 4 čísla zo 6 vylosovaných)
 

c) Druhé poradie (uhádnuť 5 čísiel zo 6 vylosovaných)


d) Prvé poradie (uhádnuť 6 čísiel zo 6 vylosovaných)