cz|en|

Extrémy – slovné úlohy

1.Číslo 32 rozložte na dvoch sčítancov tak, aby ich súčin bol najväčší.

Riešenie:

Prvý sčítanec : x                      x = 16

Druhý sčítanec : 32 – x     32 – 16=16

y = x.(32 – x)

y = 32x – x2

 

y‘ = 32 – 2x

32 – 2x = 0

       2x = 32

        x =16

y‘‘ = -2 < 0 - maximum

Prvý sčítanec je 16, druhý tiež 16


2.Číslo 16 rozložte na dvoch sčítancov tak, aby súčet druhých mocnín týchto sčítancov bol najmenší.

Riešenie:

Prvý sčítanec : x                     x = 8

Druhý sčítanec : 16 – x    16 – 8 = 8

y = x2 + ( 16 – x )2

y = x2 + 256 -32x +x2

y = 2x2 – 32x + 256

y‘ = 4x – 32

4x - 32 = 0

4x = 32

x = 8

y‘‘ = 4 > 0 - minimum

Prvý sčítanec je 8, druhý tiež 8.


3.Nájdite také kladné číslo x, aby súčet tohto čísla a jeho prevrátenej hodnoty bol najmenší.

Riešenie:

extremy-slovne-ulohy-3 

Hľadané číslo je x = 1.


4.Z drôtu dĺžky l = 120 cm máme urobiť model kvádra so štvorcovou podstavou. Aké má mať rozmery, aby povrch bol maximálny?

Riešenie:

Hrana štvorcovej podstavy : a = b =x

Výška kvádra : c

8x + 4c = l

8x +4c =120/:4

2x + c = 30

       c = 30 – 2x

 

S = 2( ab + ac + bc )

S = 2( x.x + x(30 – 2x) + x(30 – 2x))

S = 2(-3x2 +60x )

S = -6x2 +120x

 

S‘ = -12x + 120                  S‘‘ = -12 < 0 maximum

-12x + 120 = 0

12x = 120

x = 10

c = 30 -2x = 30 – 2.10 = 10

x = 10 cm, c = 10 cm .

Kváder musí mať tvar kocky s hranou x = 10 cm


5. Záhrada tvaru obdĺžnika má obvod 200 m. Určite rozmery záhrady tak, aby jej obsah bol maximálny.

Riešenie:

a = x

O = 2a + 2b

200 = 2x +2b/:2

100 = x + b

   b = 100 – x                  b = 100 – x = 100 – 50 = 50

                                      b = 50 m

 

S = a.b

S = x.(100 – x )

S = 100x – x2

 

S‘ =100 – 2x                  S‘‘ = -2 < 0 - maximum

100 – 2x = 0

2x = 100

x = 50

a = 50 m

Záhrada bude mať maximálny obsah ak bude tvaru štvorca o strane a = b = 50 m.


6.Kedy má kváder s objemom V = 63 cm3 a výškou v = 7 cm najmenší povrch?

Riešenie:

extremy-slovne-ulohy-6 

Rozmery hľadaného kvádra sú a = 3 cm, b = 3 cm, c = 7 cm


7.Na brehu rieky treba oplotiť záhradu obdĺžnikového tvaru (jednu stranu obdĺžnika tvorí rieka) pletivom dlhým l = 800 m. Aké rozmery musí mať záhrada , aby jej výmera bola maximálna ?

Riešenie:

800 = 2a +b

a = x

b = 800 – 2a = 800 – 2x

 

S = a.b

S = x.(800 – 2x)

S = 800x – 2x2

 

S‘ =800 – 4x               S‘‘ = -4 < 0 - maximum

800 – 4x = 0

         4x = 800

           x = 200

           x = 200 m

 

b = 800 – 2x

b = 800 – 400 = 400

b = 400 m

Rozmery záhrady sú a = 200 m, b = 400 m.


8.Aké sú rozmery otvoreného bazéna so štvorcovým dnom, ak bazén má objem V = 32 m3 a ak na jeho vymurovanie sa má spotrebovať minimálne množstvo materiálu.

Riešenie:

V = 32 m3, x – hrana štvorcovej podstavy, v – výška kvádra

extremy-slovne-ulohy-8 

Rozmery: a=4m, b=4m, v=2m


9. Drôt s dĺžkou 5 m ohnite do pravého uhla tak, aby vzdialenosť obidvoch koncov bola minimálna. Kde treba drôt ohnúť?

Riešenie:

Odvesny a = x, b = 5 – x

Prepona c = y

extremy-slovne-ulohy-9 

Drôt treba ohnúť v prostriedku.


10. Z plechu tvaru štvorca so stranou 30 cm treba v rohoch vystrihnúť štyri rovnaké štvorčeky , zvyšok prehnúť tak, aby vznikla otvorená škatuľa. Určite stranu odstrihnutých štvorčekov x tak, aby objem škatule bol maxi-málny.

Riešenie:

a = 30 – 2x,   b = 30 – 2x,   c = x

V = a.b.c

V = (30 – 2x)(30 – 2x).x

V = 4x3 – 120x2 +900x 

V‘ = 12x2 – 240x +900          V‘‘ = 24x -240

12x2 – 240x +900 =0 /:12      V‘‘(5) = 24.5-240 = -120 < 0 maximum

   x2 - 20x + 75 = 0

( x – 5 )( x -15 ) = 0      x1 = 5      x2 = 15 -nevyhovuje

x = 5 cm

Strana odstrihnutého štvorčeka je x = 5 cm. 


11.Jama s objemom 500 m3 má tvar kvádra so štvorcovou podstavou so stranou x a hĺbkou h. Pri akých rozmeroch x a h bude mať jama minimálny povrch?

Riešenie:

Rozbor:

V = 500 m3,  x = ?, h = ?

extremy-slovne-ulohy-11

Jama má podstavu štvorec o strane x = 10m a výšku h = 5m.


12.Daná je parabola y = 4 – x2. Nájdite vrcholy obdĺžnika ABCD s najväčším obvodom, ktorého vrcholy A,B ležia na osi x , vrcholy C,D majú kladné y-ové súradnice a ležia na parabole.

Riešenie:

extremy-slovne-ulohy-12a

Body sú: A[-1;0], B[1;0], C[1;3], D[-1;3]


13.Určite rozmery (r, v) valcovej nádoby bez veka, ktorej povrch je S = 27π tak, aby jej objem bol najväčší.

Riešenie:

Rozbor:

S = 27π,  r = x

extremy-slovne-ulohy-13 

Rozmery nádoby sú r = x = 3j, v = 3j.


14.Hore otvorená nádoba tvaru valca má objem V = 3140 cm3. Určite rozmery valca (r, v) tak, aby na vytvorenie tejto nádoby sa minulo najmenej materiálu.

Riešenie:

Rozbor:

V = 3140 cm3, r = x = ?

extremy-slovne-ulohy-14 

Rozmery nádoby sú r = x = 10cm, v = 10cm.


15. Aké rozmery musí mať obdĺžnik s obvodom O = 40cm, aby jeho uhlopriečka bola minimálna.

Riešenie:

Rozbor:

x = a = ?,  b = ?

extremy-slovne-ulohy-15 

Útvar je štvorec o strane a = 10cm.