Pravděpodobnost

1. Definujte a charakterizujte pravděpodobnost.

Řešení:

a) Klasická definice pravděpodobnosti:
Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady

• Počet všech výsledků je konečný
• Všechny výsledky jsou stejně možné
• Žádné dva výsledky nemohou nastat současně

Pravděpodobnost jevu A je číslo , kde n je počet všech možných výsledků náhodného pokusu am je počet všech příznivých výsledků, tj. výsledků, při kterých nastane jev A..

Platí : 0 ≤ P(A) ≤ 1
Pravděpodobnost nemožného javu : P(A) = 0
Pravděpodobnost jistého javu: P(A) = 1

b) Podmíněná pravděpodobnost A za podmínky B je číslo:



c) Pravděpodobnost nezávislých jevů:

P(A∩B) = P(A)P(B)

d) Pravděpodobnost neslučitelných jevů:

P(AUB) = P(A) + P(B)

e) Binomické rozdělení pravděpodobnosti:

Nechť A je jev s pravděpodobností P. Pak pravděpodobnost, že při n-násobném opakování pokusu, jev A nastane právě k-krát je číslo:



f) Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť V předmětů vybraných z N předmětů má určitou vlastnost, pak NV předmětů tuto vlastnost nemá.
Pravděpodobnost, že právě k předmětů z řad n náhodně vybraných předmětů tuto vlastnost má, je číslo:

2.Z osmnácti lístků označených čísly 1 - 18 vytáhneme náhodně jeden lístek. Jaká je pravděpodobnost, že na vytažením lístku bude:

Řešení:

3. Jaká je pravděpodobnost že při hodu dvěma kostkami (červené a modré) padne:

Řešení:

4. Hazardní hráč hází třemi kostkami, položil G. Galileimu otázku: "Mám vsadit na součet 11 nebo součet 12?" Co mu Galilei odpověděl?

Řešení:
 

a) Součet 11

n = V*(3,6) = 6³ = 216

b) Součet 12

n = V*(3,6) = 6³ = 216


G. Galilei doporučil vsadit na součet 11, protože P (11)> P (12).

5. Dlouhodobé výzkumy na stejném území ukázala, že ze 100 000 dětí se 82 170 dožije 40 let a 37 930 se dožije 70 let. Jaká je pravděpodobnost, že člověk, který se dožije 40 let, dožije se i 70 let?

Řešení:

(Jedná se o podmíněnou pravděpodobnost)

A – dožít se 70 let, P(A) = 0,3793
B – dožít se 40 let, P(B) = 0,8217



Pravděpodobnost, že se člověk dožije 70 let je 46%.

6. Ve městě jsou čtyři křižovatky se světelnými semafory. Každý z nich uvolňuje nebo uzavírá dopravu se stejnou pravděpodobností 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že auto:

Řešení:

7. V 32 hracích kartách jsou 4 esa a 12 figur (4 králové, 4 horníci a 4 spodci). Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vytažena jedna karta bude eso nebo figura?

Řešení:

Jedná se o pravděpodobnost neslučitelných jevů

A – vytažená karta ja eso
B - vvytažená karta ja figura


    Pravděpodobnost, že vytažená karta bude eso nebo figura je 50%.

8. Otcové jsou šťastní, když se jim narodí syn. Z dlouhodobých statistik je známo, že pravděpodobnost narození chlapce je P (A) = 0,51.

Řešení:

Jedná se o binomické rozdělení pravděpodobnosti.
n = 5, k = 3, P = 0,51



Otci se přání splní s pravděpodobností 31,8%.

9.     V šestnácti lahvích jsou minerálky. Víme, že v 10 láhvích je Slatina av 6 lahvích je Baldovská. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými lahvemi jsou 2 Slatiny a 2 Baldovaké?

10. V hazardnej číselnej hre sa losuje 6 čísiel zo 49 čísiel. Aká je pravdepodobnosť získať:

Řešení:

a) Čtvrté pořadí (uhodnout 3 čísla ze 6 vylosovaných)


b) Třetí pořadí (uhodnout 4 čísla ze 6 vylosovaných)


c) Druhé pořadí (uhodnout 5 čísel ze 6 vylosovaných)


d) První pořadí (uhodnout 6 čísel ze 6 vylosovaných)