sk|en|

Vektor v rovině

1. Charakterizujte vlastnosti vektoru v rovině:

Řešení:

vektor-1

2. Dané jsou body A[-2;5], B[1;yB] a C[4;-3].

Určete B, aby platilo:
a) vektory AB a AC jsou kolmé
b) vektory AB a AC jsou rovnoběžné
Řešení:

vektor-2

3. Daný je vektor v = AB –  A[1;1], B[b1;b2] a stred vektoru S[4;5].

Vypočítejte souřadnice bodu B a velikost vektoru.
Řešení:

vektor-3

Bod B má súradnice B[7;9]. Veľkosť vektora je 10 jednotiek.

4. Dané jsou body A[2;-3] a B[x;0].

Určete x, aby pro velikost vektoru platilo |AB| = 5.
Řešení:

vektor-4

Souřadnice bodu B jsou: B[6;0] alebo B[-2;0].

5. Dokažte, že trojúhelník, jehož vrcholy jsou body A [-3; -2], B [1; 4] a C [-5; 0] je rovnoramenný.

Řešení:

vektor-5

Protože |u| = |w|, trojuholník ΔABC je rovnoramenný.

6. Dané jsou vektory a = (3;-2) a b = (-1;5).

Určete vektor c, pro který platí:
a.c = 17
b.c = 3
Řešení:

vektor-6

Hľadaný vektor je c = (7;2).

7. Najděte vektor v, kolmý na vektor u = (3, 4) a jehož velikost je 15.

Řešení:

vektor-7

Vektor je v = (-12;9) alebo v = (12;-9).

8. Vrcholy Vrcholy trojuholníka ΔABC tvoří body A[1;1], B[2;-1] a C[3;2].

Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů.
Řešení:

vektor-8

Vnútorné uhly trojuholníka sú: α = 90°, β = 45° a γ = 45°.

9.Na souřadnicových osách najděte bod, který má od bodu A [4; -6] vzdálenost 5.

Řešení:

vektor-9

Na ose y vyhovují body M [0; -3] a N [0; -9]. Na ose x takový bod není.

10.Vrcholy čtyřúhelníku jsou v bodech: A [0; 0], B [3, -4], C [6; 0] a D [3, 4].

Dokažte, že čtyřúhelník ABCD je kosočtverec.
Řešení:

vektor-10

Čtyřúhelník ABCD je kosočtverec, neboť splňuje obě podmínky.

11.Body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Ukažte, že trojúhelník ABC je rovnostranný. Vypočítejte jeho obsah.

vektor-v-rovine-11z.gif

Řešení:

 vektor-v-rovine-11r.gif

Trojúhelník ABC je rovnostranný. Jeho obsah je S = 15,57j2.


12. Body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Středy stran AC, BC označte M, N. Ukažte, že střední příčka MN je rovnoběžná se stranou AB a že platí MN = 0,5 AB.

Řešte pre A[2;2], B[10;4], C[4;8]

Řešení:

vektor-v-rovine-12-1

Podmínka rovnoběžnosti:

vektor-v-rovine-12-2

Vlastnost MN = 0,5.AB

vektor-v-rovine-12-3


13.     Je dán rovnoramenný lichoběžník ABCD s vrcholy

vektor-v-rovine-13z

Určete souřadnice bodu D.

Řešení:

vektor-v-rovine-13r.gif


14.Určete souřadnice středu S a velikost poloměru r kružnice, která prochází body A, B, C. Řešte pro body:

vektor-v-rovine-14z.gif

Řešení:

vektor-v-rovine-14r.gif


15. Najděte souřadnice těžiště soustavy čtyř stejně hmotných těles, které leží v bodech A, B, C, D. Těžiště T je střed úsečky, jejíž koncové body jsou ve středu vektorů

vektor-v-rovine-15z.gif

Řešení:

vektor-v-rovine-15r.gif


16.Bod A [2; 5] je začátek síly F, jejíž průmět na souřadnicové osy x = 3; y = 3. Vypočítejte konec vektoru, který zobrazuje sílu F.

Určete velikost této síly!

Řešení:

vektor-v-rovine-16r-1

Koncový bod síly je vektor-v-rovine-16r-2


17. Dané jsou  tři body A,B,C

  • a.)    Dokážte, že leží na jedné přímce
  • b.)    Zjistěte v jakém poměru jsou velikosti vektorů

vektor-v-rovine-17z

Řešení:

a.)    Podmínka rovnoběžnosti:

vektor-v-rovine-17r-1

b.)    Poměr vektorů:

vektor-v-rovine-17r-2

 

Vektory leží na přímce a jsou v poměru vektor-v-rovine-17r-3


18. Rovnoramenný trojúhelník ABC má základnu AB s vrcholem A a středem základny S. Jeho vrchol C leží na ose x. Určitě vrcholy trojúhelníku B a C.

vektor-v-rovine-18z.gif

Řešení:

 vektor-v-rovine-18r.gif

Hledané vrcholy trojúhelníku ABC sú B[4;–6] a C[4;0].


19. Je dán vektor u = (5 ;-3) a takový vektor v = (1;yv) že platí

vektor-v-rovine-19z.gif

Určete yv

Řešení:

vektor-v-rovine-19r-1

 

Vektory jsou vektor-v-rovine-19r-2


20. Body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC a body M, N, P jsou středy stran tohoto trojúhelníku. Určitě souřadnice tří vektorů, jejichž umístění splývá s těžnice trojúhelníku ABC tak, že počáteční bod je vždy ve vrcholu trojúhelníku. Vypočítejte velikosti těchto vektorů.

vektor-v-rovine-20z.gif

Řešení:

vektor-v-rovine-20r.gif