sk|en|

Pravoúhlý trojúhelník

1. Definujte pravoúhlý trojúhelník.

Řešení:

pravouhly1a
a) Pytagorova věta:

a2 + b2 = c2

b) Goniometrické funkce:

pravouhly1b

c) Obvod trojúhelníka:

O = a + b + c

d) Obsah trojúhelníka:

pravouhly1c

c) Euklidove věty:

a2 = c.ca
b2 = c.cb
v2 = ca.cb

2. V pravoúhlém trojúhelníku ΔABC jsou dány odvěsny a = 3 cm, b = 4 cm,

Vypočtěte:

  • a) přeponu c
  • b) výšku na přeponu vc
  • c) obsah trojúhelníku S
  • d) ostré úhly α a β

Řešení:
pravouhly2

V trojúhelníku ΔABC platí: c = 5cm, vc = 2,4cm, S = 6cm2, α = 36,87°, β = 53,16°.

3. V pravoúhlém trojúhelníku jsou a, b odvěsny, c přepona, α je úhel proti odvést a.

Doplňte tabulku! (Délky stran jsou v cm)

pravouhly3
Řešení:

pravouhly3r

4. Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Vypočtěte:

a) jeho obvod
b) jeho obsah
pokud velikost delší odvěsny je 16 cm.
Řešení:

a = 16 - x
b = 16
c = 16 + x

(16 – x)2 + 162 = (16 + x)2
256 – 32x + x2 + 256 = 256 + 32x + x2
64x = 256
x = 4

a) Obvod trojúhelníku

a = 12
b = 16
c = 20

O = a + b + c
O = 12 +16+20
O = 48 cm

b) Obsah trojúhelníku

S = 0,5.a.b
S = 0,5.12.16
S = 96 cm2

Trojúhelníku ΔABC má obvod O = 48 cm a obsah S = 96 cm2.

5.     Určitě obvod pravoúhlého trojúhelníku, jestliže součet jeho odvěsen je 30 cm a jeho obsah je 110,5 cm2.

Řešení:

pravouhly6

Obvod trojúhelníku je 51,4 cm.

6. Vypočtěte velikost základny a ramene rovnoramenného trojúhelníku, pokud rameno je o 1 cm delší než základna a výška na základnu je o 2 cm kratší než rameno.

Řešení:

pravouhly6a
z = 16 cm, r = 17 cm, v = 15cm

7. Dokažte, že trojúhelník má strany a = 4p2-1, b = 4p, c = 4p2 +1 je pravoúhlý a jmenuje se pythagorejský trojúhelník. Napište čtyři takové trojúhelníky.

Řešení:

Pokud pro trojúhelník platí Pythagorova věta, je pravoúhlý.

pravouhly7a

Pytagorova věta platí, trojúhelník je pravouhlý.

Pytagorejské trojúhelníky:
pravouhly7b
Zkouška:
352 + 122 = 372
1225 + 144 = 1369
1369 = 1369

8. Jaké stoupání má cesta, pokud na dopravní značce, která o tom informuje, je napsáno 6,7%? Auto prošlo 2,3 km po této cestě.

Jaký výškový rozdíl auto překonalo?
Řešení:
pravouhly8

Úhel stoupání cesty je 3,83°.
Auto překonalo výškový rozdíl asi 154 m.

9. Vypočítejte obsah rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku, jehož obvod je 20cm.

Řešení:
pravouhly9
Obsah trojúhelníku je 17,15 cm2.

10. Pro odvěsny pravoúhlého trojúhelníku platí a: b = 2:3. Přepona má délku 10 cm.

Vypočítejte obvod a obsah tohoto trojúhelníku.
Řešení:

pravouhly10a

pravouhly10b

Obvod trojúhelníku ΔABC je 23,86 cm a obsah 23,045 cm2.