sk|en|

Krychle, kvádr, hranol a válec

1.Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu:

  • krychle
  • kvádru
  • hranolu
  • válce
Řešení:

Krychle

a – hrana krychle

objem V = a3

obsah S = 6a2

kocka1a

Kvádr

a, b, c – hrany kvádru

objem V = a.b.c

obsah S = 2(ab+ac+bc)

kocka1b

Hranol

Sp – obsah podstavy
Q – obsah pláště
v – výška hranolu

objem V = Sp.v

obsah S = 2Sp + Q

Válec

r – poloměr podstavy
v – výška valce

objem V = π.r2.v

obsah S = 2πr(r+v)

Q = 2πrv

2. Dvě krabice tvaru krychle s hranami a = 70 cm, b = 90 cm je třeba nahradit jednou krabicí tvaru kostky.

Jaká bude její hrana?
Řešení:

kocka2

Hrana náhradní kostky bude c = 102,3 cm.

3. Hrana druhé kostky je o 2 cm větší, než hrana první kostky. Rozdíl objemů kostek je 728 cm3.

Vypočítejte velikosti hran obou kostek.
Řešení:

Hrana první kostky: x
Hrana druhé kostky: x + 2

kocka3

Hrana první kostky je 10 cm, druhé 12 cm.

4. Daná je krychle o hraně a. Známé hodnoty jsou v tabulce.

Doplňte tabulku!

kocka4
Řešení:

kocka4r

5. Hrany dvou kostek se liší o 22 cm. Jejich povrchy se liší o 19272 cm2.

Určitě hrany obou kostek.

Řešení:


x-Hrana první kostky
z-Hrana druhé kostky


kocka5

Hrany kostek jsou x = 84 cm a y = 62 cm.


6. Kvádr má rozměry a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm.

Vypočtěte úhel α mezi podstavovou a telesovou úhlopříčkou.
Řešení:

kocka6

Úhel mezi úhlopříčkami je α = 45°.

7. Povrch kvádru je S = 376 cm2. Pro jeho hrany platí a:b:c = 3:4:5.

Vypočítejte objem kvádru.
Řešení:

kocka7

Objem kvádru je V = 480 cm3.

8. Ve vodojemy tvaru kvádru je 1500 hl vody, výška vody je 2,5 m.

Určete rozměry dna, pokud jeden rozměr je o 4 m větší, než druhý.
Řešení:

kocka8
Rozměry dna vodojemu jsou a = 6 m, b = 10 m.

9. Vypočítejte objem kvádru, pokud jeho podstava má S1 = 272 cm2 a bočné stěny S2 = 240 cm2, S3 = 255 cm2.

Řešení:

kocka9

Objem kvádru je 4080 cm3.

10. Jakou hmotnost má železná tyč (ρ = 7800 kg.m-3) 1,5 metrů dlouhá, jejímž průřezem je čtverec se stranou a = 45 mm?

Řešení:

kocka10

Hmotnost železné tyče je asi M = 23,7 kg.

11. Podstava kolmého trojboké hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a = 9 cm, b = 12 cm. Výška hranolu je dvojnásobek přepony pravoúhlé podstavy hranolu.

Vypočítejte objem a povrch hranolu.
Řešení:

kocka11

Trojboký hranol má objem V = 1620 cm3 a povrch S = 1188 cm2.

12. Kolik zeminy je třeba přemístit při výkopu přímého 170 m dlouhé příkopy, jejíž průřez je rovnoramenný lichoběžník se základnami a = 150 cm, c = 80 cm a výškou v = 83 cm?

Řešení:

l = 170 m = 17000 cm

kocka12

Je treba přemístit asi 162,3m3 zeminy.

13. Vypočtete objem a povrch hranolu, jehož podstava je kosočtverec s úhlopříčkami u1 = 12 cm, u2 = 16 cm. Výška hranolu se rovná dvojnásobku podstavovej hrany.

Řešení:

kocka13

Objem hranolu je V = 1920 cm3, jeho povrch je S = 992 cm2.

14. V tabulce jsou veličiny charakterizující různé válce.

Doplňte tabulku!

kocka14
Řešení:

kocka14r

15. Plášť rotačního válce rozvinutý do roviny je čtverec s obsahem a2 = 81 cm2.

Určete poloměr podstavy r, výšku válce va jeho objem V.
Řešení:

kocka15

Válec má poloměr podstavy r = 1,433 cm, výšku v = 9 cm a objem V = 58,03 cm3.

16. Rovnostranný válec (v = 2r) má objem V = 250 cm3.

Vypočítejte povrch tohto tělesa.
Řešení:

kocka16

Povrch válce je S = 219 cm2.

17. Hliníkový drát (ρ = 2,7 g.cm-3) s průměrem d = 3 mm má celkovou hmotnost m = 1,909 kg.

Určete délku drátu l.
Řešení:

kocka17

Délka hliníkového drátu je přibližně 100m.

18. Vnější obvod mosazné trubky (ρ = 8,5 g.cm-3) je 31,4 cm. Její hmotnost je 3,14 kg a délka je 60 cm.

Jaká je tloušťka stěny trubky?
Řešení:

O = 31,4 cm
v = 60 cm
m = 3140 kg
ρ = 8,5 kg.cm-3
tloušťka trubky= x

V úloze jde o objem dutého válce s podstavou mezikruží.

kocka18

Tloušťka stěny trubky je x = 0,2 cm.