Krychle, kvádr, hranol a válec
1.Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu:
- krychle
- kvádru
- hranolu
- válce
Řešení:
Krychle
a – hrana krychle
objem V = a
3
obsah S = 6a
2
Kvádr
a, b, c – hrany kvádru
objem V = a.b.c
obsah S = 2(ab+ac+bc)
Hranol
S
p – obsah podstavy
Q – obsah pláště
v – výška hranolu
objem V = S
p.v
obsah S = 2S
p + Q
Válec
r – poloměr podstavy
v – výška valce
objem V = π.r
2.v
obsah S = 2πr(r+v)
Q = 2πrv
2. Dvě krabice tvaru krychle s hranami a = 70 cm, b = 90 cm je třeba nahradit jednou krabicí tvaru kostky.
Jaká bude její hrana?
Řešení:
Hrana náhradní kostky bude c = 102,3 cm.
3. Hrana druhé kostky je o 2 cm větší, než hrana první kostky. Rozdíl objemů kostek je 728 cm3.
Vypočítejte velikosti hran obou kostek.
Řešení:
Hrana první kostky: x
Hrana druhé kostky: x + 2
Hrana první kostky je 10 cm, druhé 12 cm.
4. Daná je krychle o hraně a. Známé hodnoty jsou v tabulce.
Doplňte tabulku!
Řešení:
5. Hrany dvou kostek se liší o 22 cm. Jejich povrchy se liší o 19272 cm2.
Určitě hrany obou kostek.
Řešení:
x-Hrana první kostky
z-Hrana druhé kostky
Hrany kostek jsou x = 84 cm a y = 62 cm.
6. Kvádr má rozměry a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm.
Vypočtěte úhel α mezi podstavovou a telesovou úhlopříčkou.
Řešení:
Úhel mezi úhlopříčkami je α = 45°.
7. Povrch kvádru je S = 376 cm2. Pro jeho hrany platí a:b:c = 3:4:5.
Vypočítejte objem kvádru.
Řešení:
Objem kvádru je V = 480 cm
3.
8. Ve vodojemy tvaru kvádru je 1500 hl vody, výška vody je 2,5 m.
Určete rozměry dna, pokud jeden rozměr je o 4 m větší, než druhý.
Řešení:
Rozměry dna vodojemu jsou a = 6 m, b = 10 m.
9. Vypočítejte objem kvádru, pokud jeho podstava má S1 = 272 cm2 a bočné stěny S2 = 240 cm2, S3 = 255 cm2.
Řešení:
Objem kvádru je 4080 cm
3.
10. Jakou hmotnost má železná tyč (ρ = 7800 kg.m-3) 1,5 metrů dlouhá, jejímž průřezem je čtverec se stranou a = 45 mm?
Řešení:
Hmotnost železné tyče je asi M = 23,7 kg.
11. Podstava kolmého trojboké hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a = 9 cm, b = 12 cm. Výška hranolu je dvojnásobek přepony pravoúhlé podstavy hranolu.
Vypočítejte objem a povrch hranolu.
Řešení:
Trojboký hranol má objem V = 1620 cm
3 a povrch S = 1188 cm
2.
12. Kolik zeminy je třeba přemístit při výkopu přímého 170 m dlouhé příkopy, jejíž průřez je rovnoramenný lichoběžník se základnami a = 150 cm, c = 80 cm a výškou v = 83 cm?
Řešení:
l = 170 m = 17000 cm
Je treba přemístit asi 162,3m
3 zeminy.
13. Vypočtete objem a povrch hranolu, jehož podstava je kosočtverec s úhlopříčkami u1 = 12 cm, u2 = 16 cm. Výška hranolu se rovná dvojnásobku podstavovej hrany.
Řešení:
Objem hranolu je V = 1920 cm
3, jeho povrch je S = 992 cm
2.
14. V tabulce jsou veličiny charakterizující různé válce.
Doplňte tabulku!
Řešení:
15. Plášť rotačního válce rozvinutý do roviny je čtverec s obsahem a2 = 81 cm2.
Určete poloměr podstavy r, výšku válce va jeho objem V.
Řešení:
Válec má poloměr podstavy r = 1,433 cm, výšku v = 9 cm a objem V = 58,03 cm
3.
16. Rovnostranný válec (v = 2r) má objem V = 250 cm3.
Vypočítejte povrch tohto tělesa.
Řešení:
Povrch válce je S = 219 cm
2.
17. Hliníkový drát (ρ = 2,7 g.cm-3) s průměrem d = 3 mm má celkovou hmotnost m = 1,909 kg.
Určete délku drátu l.
Řešení:
Délka hliníkového drátu je přibližně 100m.
18. Vnější obvod mosazné trubky (ρ = 8,5 g.cm-3) je 31,4 cm. Její hmotnost je 3,14 kg a délka je 60 cm.
Jaká je tloušťka stěny trubky?
Řešení:
O = 31,4 cm
v = 60 cm
m = 3140 kg
ρ = 8,5 kg.cm
-3
tloušťka trubky= x
V úloze jde o objem dutého válce s podstavou mezikruží.
Tloušťka stěny trubky je x = 0,2 cm.