Fyzikální význam derivace
1.V čem spočívá fyzikální význam derivace?
Řešení:
- Okamžitá rychlost v čase t0 je první derivací dráhy podle času:
v(t0) = s‘(t0).
- Okamžité zrychlení v čase t0 je první derivací rychlosti podle času:
a(t0) = v‘(t0)
Příklad:
Určete okamžitou rychlost a okamžité zrychlení pohybu v čase t, jehož dráha je dána vztahem:
2.Kámen vyhozen z výšky h = 10m kolmo vzhůru má počáteční rychlost v0 = 20m.s-1. Jakou rychlost bude mít kámen v čase t = 1,5 s? Za jaký čas dosáhne maximální výšku? Jakou výšku dosáhne? (g = 10m.s-2)
Řešení:
Rychlost kamene v čase t = 1,5s je v = 5ms-1. Maximální výši 30m dosáhne za 2 sekundy.
3.Těleso sjede po nakloněné rovině 50m dlouhé za 10s. Jaká je jeho konečná rychlost, pokud předpokládáme, že dráha je kvadratická funkce času a že počáteční rychlost je nulová.
Řešení:
Konečná rychlost tělesa je v = 10m.s-1
4.Rychlík jedoucí rychlostí 90km.h-1 má zabrzdit tak, aby se rovnoměrně zpomaleným pohybem zastavil na vzdálenosti 1km. Po jakém čase zastaví?
Určete jeho rychlost po 10 sekundách od okamžiku, kdy začal brzdit.
Řešení:
Rychlík zastaví za 80s.
5.Zjistěte jak rychle se mění výška s tlakem vzduchu.
Vzorec, který udává výšku nad zemským povrchem v závislosti na tlaku vzduchu. (p0 - je normální tlak vzduchu na hladině moře):
Řešení:
6.Určete rychlost změny napětí (p) vodních par od absolutní teploty (T), pokud platí:
(C, L, R jsou konstanty)
Řešení:
7.Množství elektrického náboje Q, který prochází vodičem se mění s časem podle vztahu: Q = 3t2 +2t +2 . ( [Q] = C, [t] = sec )
Vypočtěte intenzitu okamžitého proudu iv době t = 1s. Zjistěte také, kdy se bude intenzita i = 20 A.
Řešení:
V čase t = 1s je i = 8A. Intenzita i = 20 A bude v čase 3 sekundy.
8.V indukční cívce protéká proud i = 15.sin5 (3t), [i] = A, [t] = sec, [L = 0,03 H] Vypočtěte indukované elektromotorické napětí v čase t = 2π / 9 sec. podle vztahu:
Řešení:
9.Těleso se pohybuje po přímce a pro jeho výchylku z rovnovážné polohy platí: y = 2cos2πt - 3sin2πt. Najděte jeho rychlost v čase t = 1s a největší výchylku z rovnovážné polohy. (y je v cm)
Řešení:
Rychlost:
y = 2cos2πt – 3sin2πt
v = y‘ = 4π.(-sin2πt) - 6π.(cos2πt)
v = y‘ = -2π.(2sin2πt + 3cos2πt)
v(1) = y/(1) = -2π.(2sin2π + 3cos2π)
v(1) = y/(1) = -2π.(0 +3.1)
v(1) = y/(1) = –6π [cm.s-1]
Maximální výchylka:
v = 0
-2π.(2sin2πt + 3cos2πt) = 0 /:(-2π)
2sin2πt + 3cos2πt = 0 /:cos2πt
2tg2πt +3 = 0
tg2πt = –1,5
2πt = 1240
ymax = 2cos1240-3sin1240 = -1,1183 -2,4871 = –3,6054
ymax = -3,6054 cm.
10.Výkon baterie s elektromotorickým silou E a vnitřním odporem Ri je: P = EI - Ri.I2. Při jakém proudu dá baterie největší výkon? Určitě tento výkon.
Řešení:
11.Pro výpočet dráhy harmonického pohybu platí s = A.sin (ω.t). Odvoďte vztah pro výpočet rychlosti a zrychlení harmonického pohybu.
Řešení:
Vztah pro výpočet rychlosti harmonického pohybu je v = Aω.cos (ω.t), pro výpočet zrychlení a = –ω2s.
12.Závislost mezi množstvím a hmotností při některých chemických reakcích je dána rovnicí x = A.(1 – e–kt). (A, k jsou konstanty).
Vypočtěte rychlost této reakce.
Řešení:
Rychlost chemické reakce je dána vztahem v = k.(A – x ).
13.Setrvačník se otáčí, je kompenzován a začne se pohybovat podle rovnice:
Napište rovnici úhlové rychlosti a zjistěte za jaký čas projde pohyb v rovnoměrný otáčivý s úhlovourychlostí
ω = π.
Řešení:
Úhlová rychlost ω = π je dosaženo za t = 5 sekund.
14.Pohyb pístu tam a zpět závisí na času podle rovnice s = –1,5t3 + 9t2 (cm). Vypočtěte maximální vzdálenost, kterou píst dosáhne za 4 sekundy. Určitě také rychlosti v0, v1,........v6.
Řešení:
Píst za 4 sekundy dosáhne 48cm.
15.Při pohybu tělesa je dráha popsána rovnicí s = t2 + 3t - 5 (m) přičemž v čase t = 0 sec. byla jeho rychlost nulová. Určitě dráhu, rychlost a zrychlení v čase t = 5s. Určitě také jeho kinetickou energii, pokud jeho hmotnost je 8kg.
Řešení:
Kinetická energie tělesa v páté sekundě je Ek = 676 J.
16.Těleso se pohybuje po dráze s = t2 - t3 / 3 + 3t + 8 (m). Vypočtěte:
- a). za jaký čas zastaví
- b.) jaké bude jeho zrychlení v čase t = 0,5 s
- c.) jakou dráhu přejde těleso do zastavení
Řešení:
- Těleso zastaví za 3sekundy a projde 17 metrů.
- Jeho zpomalení v čase 0,5 s bude 1m.s-2
17.Množství elektrického náboje, který prochází vodičem se men podle vztahu Q = 2.te-t. Zjistěte čas, kdy se intenzita proudu bude rovnat nule.
Řešení:
Intenzita proudu bude nulová v čase t = 1 sekunda
18.Ujistěte se, že daná funkce popisující průběh elektrického proudu Vybíjející se kondenzátoru, vyhovuje diferenciální rovnici:
Řešení:
Funkce vyhovuje dané diferenciální rovnici.