Vektor in der Ebene
1.Charakterisieren Sie die Eigenschaften eines Vektors in der Ebene:
Lösung:
2.Gegeben sind die Punkte A[-2;5], B[1;yB] und C[4;-3]. Bestimmen Sie B, sodass Folgendes gilt:
a) die Vektoren AB und AC zueinander senkrecht sind
b) die Vektoren AB und AC parallel sind
Lösung:
3.Gegeben ist der Vektor v = AB wie folgt: A[1;1], B[b1;b2] und der Mittelpunkt des Vektors S[4;5].
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B und die Länge des Vektors.
Lösung:
Der Punkt B hat die Koordinaten B[7;9]. Die Länge des Vektors beträgt 10 Einheiten.
4.Die Punkte A[2;-3] und B[x;0] sind gegeben.
Bestimmen Sie x, so dass die Länge des Vektors |AB| = 5 ist.
Lösung:
Die Koordinaten des Punktes B sind: B[6;0] oder B[-2;0].
5.Weisen Sie nach, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A[-3;-2], B[1;4] und C[-5;0] gleichschenklig ist.
Lösung:
Da |u| = |w|, ist das Dreieck ΔABC gleichschenklig.
6.Gegeben sind die Vektoren a = (3;-2) und b = (-1;5).
Bestimmen Sie den Vektor c, für den gilt::
a·c = 17
b·c = 3
Lösung:
Der gesuchte Vektor ist c = (7;2).
7.Bestimmen Sie den Vektor v, der zum Vektor u = (3;4) senkrecht ist und dessen Länge 15 beträgt.
Lösung:
Der Vektor ist v = (-12;9) oder v = (12;-9).
8.Die Eckpunkte des Dreiecks ΔABC sind die Punkte A[1;1], B[2;-1] und C[3;2].
Berechnen Sie die Größen seiner Innenwinkel.
Lösung:
Die Innenwinkel des Dreiecks sind: α = 90°, β = 45° und γ = 45°.
9.Bestimmen Sie auf den Koordinatenachsen den Punkt, der vom Punkt A [4;-6] den Abstand 5 hat.
Lösung:
Auf der y-Achse sind die Punkte M[0;-3] und N[0;-9] geeignet. Auf der x-Achse gibt es keinen solchen Punkt.
10.Die Eckpunkte des Vierecks liegen in den Punkten: A[0;0], B[3;-4], C[6;0] und D[3;4].
Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD eine Raute ist.
Lösung:
Das Viereck ABCD ist eine Raute, weil beide Bedingungen erfüllt sind..
11.Die Punkte A, B, C sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC. Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Berechnen Sie seine Fläche.
Lösung:
Das Dreieck ABC ist gleichseitig. Seine Fläche beträgt S = 15,57 j2.
12.Die Punkte A, B, C sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC. Bezeichnen Sie die Mittelpunkte der Seiten AC, BC mit M,N. Zeigen Sie, dass die Mittellinie MN zur Seite AB parallel ist und dass MN = 0,5·AB gilt.
Lösen Sie für A[2;2], B[10;4], C[4;8]]
Lösung:
Parallelitätsbedingung:
Eigenschaft MN = 0,5·AB
13.Gegeben ist das gleichschenklige Trapez ABCD mit Eckpunkten
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.
Lösung:
14.Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes S und die Größe des Radius r des Kreises, der durch die Punkte A,B,C geht. Lösen Sie für die Punkte:
Lösung:
15.Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts eines Systems aus vier gleich schweren Körpern, die in den Punkten A,B,C,D liegen. Der Schwerpunkt T ist der Mittelpunkt der Strecke, deren Endpunkte an den Mittelpunkten der Vektoren liegen
Lösung:
16.Der Punkt A [2;5] ist der Angriffspunkt der Kraft F, deren Projektion auf die Koordinatenachsen x = 3; y = 3 ist. Berechnen Sie das Ende des Vektors, der die Kraft F darstellt.
Bestimmen Sie außerdem den Betrag dieser Kraft!
Lösung:
Der Endpunkt der Kraft ist 
17.Gegeben sind drei Punkte A,B,
- a.) Weisen Sie nach, dass sie auf derselben Geraden liegen
- b.) Bestimmen Sie das Verhältnis der Beträge der Vektoren
Lösung:
a.) Parallelitätsbedingung:
b.) Vektorverhältnis:
Die Vektoren liegen auf einer Geraden und stehen im Verhältnis 
18.Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Basis AB mit Eckpunkt A und Basismittelpunkt S. Sein Eckpunkt C liegt auf der x-Achse. Bestimmen Sie die Eckpunkte B und C des Dreiecks.
Lösung:
Die gesuchten Eckpunkte des Dreiecks ABC sind B[4;–6] und C[4;0].
19.Gegeben ist der Vektor u = (5;-3) und der Vektor v = (1;yv) mit
Bestimmen Sie yv
Lösung:
Die Vektoren sind 
20.Die Punkte A,B,C sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC und die Punkte M,N,P sind die Mittelpunkte seiner Seiten. Bestimmen Sie die Koordinaten dreier Vektoren, deren Lage mit den Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC zusammenfällt, wobei der Startpunkt jeweils im Eckpunkt des Dreiecks liegt. Berechnen Sie die Längen dieser Vektoren.
Lösung:
