Kegelschnitte

1. Was weißt du über Kegelschnitte:

Lösung:

Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die vom festen Punkt S in der Ebene den gleichen Abstand r haben. S[m ; n] ist der Mittelpunkt und r ist der Radius des Kreises.

Ellipse ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die die Summe der Abstände von den Punkten F₁, F₂ der Ebene gleich 2a ist. Die Punkte F₁[-e;0], F₂[e;0] sind die Brennpunkte, Exzentrizität e² = a² - b², a – große Halbachse, b – kleine Halbachse.

Hyperbel ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Betrag der Differenz der Abstände von den Punkten F₁, F₂ der Ebene gleich 2a ist. Die Punkte F₁[-e;0], F₂[e;0] sind die Brennpunkte, Exzentrizität e² = a² + b². a – reelle, b – imaginäre Halbachse. Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel: ( o || x ) : kuzelosecky-1

Parabel ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstand von einem Punkt F in der Ebene und von einer in der Ebene liegenden Geraden d gleich ist. Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel, d – die Leitgerade. Der Punkt F liegt nicht auf d. Der Wert p ist der Parameter der Parabel.

Die Lage eines Kegelschnitts und einer Geraden bestimmen wir durch Lösen des Gleichungssystems, was auf eine quadratische Gleichung führt. Ist D > 0, so ist die Gerade eine Sekante; ist D = 0, eine Tangente; ist D < 0, so schneidet die Gerade nicht.

Kurve	Gleichung S[m;n]	Zentralform S[0;0]	Allgemeine Form

Kreis

(x − m)² + (y − n)² = r²

x² + y² = r²

x² + y² + Ax + By + C = 0

Ellipse

((x − m)² / a²) + ((y − n)² / b²) = 1

(x² / a²) + (y² / b²) = 1

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, A·B > 0

Hyperbel (o ∥ x)

((x − m)² / a²) − ((y − n)² / b²) = 1

(x² / a²) − (y² / b²) = 1

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, A·B < 0

Parabel (o ∥ y)

(x − m)² = 2p(y − n)

x² = 2py

x² + Ax + By + C = 0

Parabel (o ∥ x)

(y − n)² = 2p(x − m)

y² = 2px

x² + Ax + By + C = 0

2.Gib die Gleichung eines Kreises an, der den Radius r = 8 hat und beide Koordinatenachsen berührt.

Lösung:

S [8; 8], r = 8

(x - 8)^2 + (y - 8)^2 = 8^2

x^2 - 16x + 64 + y^2 - 16y + 64 - 64 = 0

x^2 + y^2 - 16x - 16y + 64 = 0

Die Gleichung des Kreises lautet

x^2 + y^2 - 16x - 16y + 64 =

3.Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Durchmesser die Strecke AB ist, gegeben A [-1 ; 4 ], B [ 5 ; 6 ].

Lösung:

kuzelosecky-3

Die Gleichung des Kreises ist

4.Zeige, dass die Gleichungen k: x² + y² + 2x + 4y + 1 = 0 und k2: x² + y² - 8x + 6y + 9 = 0 Kreise darstellen. Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Mittelpunkte dieser Kreise verläuft.

Lösung:

kuzelosecky-4

Die durch die Mittelpunkte der Kreise verlaufende Gerade ist

5.Es gibt einen Kreis durch den Punkt A [4; 2], der die Koordinatenachsen berührt. Gib die Gleichung dieses Kreises an.

Lösung:

kuzelosecky-5

Die Gleichungen der Kreise lauten

6.Der Punkt A [-4 ; 5] ist ein Eckpunkt eines Quadrats, dessen Diagonale auf der Geraden p : [ 7x – y + 8 = 0 ] liegt. Bestimme die Gleichung des Umkreises des Quadrats.

Lösung:

a) Umkreis eines Quadrats:

S = p \cap q, \quad A[-4; 5]

p: 7x - y + 8 = 0, \quad n_p = (7; -1)

q: x + 7y + c = 0, \quad n_q = (1; 7)

x + 7y + c = 0

-4 + 7 \cdot 5 + c = 0

c = -31

x + 7y - 31 = 0

S: \begin{cases} 7x - y + 8 = 0 \\ x + 7y - 31 = 0 \end{cases} \Rightarrow S\left[-1, \frac{9}{2}\right]

r = |AS| = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{-1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}

(x + 1)^2 + \left(y - \frac{9}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}

Die Gleichung des Kreises lautet:

(x + 1)^2 + \left(y - \frac{9}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}

7.Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt S auf der Geraden p :[ x – y – 1 = 0 ] liegt und der außerdem durch die Punkte A [ -1; -1 ] und B [ 0; 6 ] geht.

Lösung:

kuzelosecky-7

Die Gleichung des Kreises ist

8.Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte K [2;-1], L [5;-2], M [10;3] geht.

Lösung:

kuzelosecky-8

Die Gleichung des Kreises lautet

9.Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p: [2x – y – 6 = 0] und des Kreises k: [x² + y² – 4x -5y -1 = 0]

Lösung:

kuzelosecky-9

Die Gerade ist eine Sekante des Kreises und schneidet ihn in den Punkten

10.Bestimme die Gleichung des Kreises, der zum Kreis k1: ( x – 1 )² + ( y – 2 )² = 1 bezüglich der Geraden p: x – y – 3 = 0 symmetrisch ist.

Lösung:

kuzelosecky-10

Die Gleichung des Kreises lautet

11.Zwei Eckpunkte einer Raute liegen in den Brennpunkten der Ellipse 9x² + 25y² - 225 = 0, die anderen beiden an den Ellipsenendpunkten auf ihrer Nebenachse. Berechne den Flächeninhalt der Raute.

Lösung:

kuzelosecky-11

Flächeninhalt der Raute

12.Bestimme die Gleichung der Ellipse in Zentralform mit S [0;0], die durch die Punkte A [8;3] und [6;4] geht.

Lösung:

kuzelosecky-12

Die Ellipse hat die Gleichung

13.Gib die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt A [1;5] und den Mittelpunkt der Ellipse 4x² + 9y² - 24x + 36y +36 = 0 verläuft.

Lösung:

kuzelosecky-13

Gleichung einer Geraden

14.In die Ellipse 2x² + y² – 4x + 4y – 108 = 0 ist ein Quadrat ABCD eingeschrieben. Finde seinen Umfang und seine Fläche.

Lösung:

2x² + y² – 4x + 4y – 108 = 0
(2x²-4x) + (y²+4y) = 108
2(x²-2x+1) +(y²+4y+4) = 108+2+4
2(x-1)² + ( y+2)² =114           y = x
2(x²- 2x+1 ) + ( x² +4x +4 ) = 114
3x² – 108 = 0
3x² = 108
x² = 36
x = ±6

X = (1+x ; -2+x )
A [7; 4 ]    B [-5; 4]     C [ -5; -8]     D [ 7 ; -8]
a = | AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 12
a = 12 j
P = 4a ,            S = a²
P = 4·12           S = 12²
P = 48 j            S = 144 j²

Der Umfang des Quadrats beträgt P = 48 j, seine Fläche S = 144 j².

15.Finde den Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse 4x² + 9y² -16x + 36y + 16 = 0 zur Geraden 5x - 12y + 5 = 0

Lösung:

kuzelosecky-15

Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Ellipse und der Geraden beträgt d = 3 Einheiten.

16.Auf einer Ellipse mit Mittelpunkt S [3; 2], Halbachse b = 4, Exzentrizität e = 3 finde den Punkt mit y-Koordinate y = 2.

Lösung:

kuzelosecky-16

Es sind zwei Punkte zu bestimmen

17.Gegeben ist das Dreieck ΔABC mit Seitenlängen |AB| = 6, |AC| = 7, |BC| = 3. Bestimme die Gleichung der Ellipse, deren Brennpunkte in zwei Eckpunkten des Dreiecks liegen und die durch den dritten Eckpunkt geht.

Lösung:

kuzelosecky-17

Die Ellipse hat die Gleichung

18.Bestimme und untersuche den Kegelschnitt, der durch die Punkte geht: K[0;0], L[8;0], M[0;6], N[8;6]. O[2;-2]

Lösung:

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

Löse das Gleichungssystem:

K: 0 + 0 + 0 + E = 0

L: 64A + 0 + 8C + 0 + E = 0

M: 0 + 36B + 0 + 6D + E = 0

N: 64A + 36B + 8C + 6D + E = 0

O: 4A + 4B + 2C – 2D + E = 0

A = 4, B = 3, C = -32, D = -18, E = 0

4x² + 3y² – 32x -18y = 0 .

Der Kegelschnitt ist eine Ellipse mit der Gleichung 4x² + 3y² -32x -18y = 0

19.Berechne die Länge der Sehne, die die Gerade 2x + y – 14 = 0 aus der Ellipse 4x² + y² -100 = 0 ausschneidet.

Lösung:

kuzelosecky-19

Die Länge der Sehne ist

20.Gib die Gleichung einer Ellipse an, wenn der gegebene Punkt M [3;-1] Endpunkt der kleinen Halbachse b ist und die Brennpunkte auf der Geraden p: y + 6 = 0 liegen. Für die Exzentrizität der Ellipse gilt:

Lösung:

kuzelosecky-20r

Die Ellipse hat die Gleichung

21.Bestimme den Mittelpunkt und die Halbachsen der Hyperbel 9x² -16y² -36x + 32y – 124 = 0. Bestimme außerdem die Gleichungen ihrer Asymptoten.

Lösung:

kuzelosecky-21

22.Bestimme die Gleichung der Hyperbel, wenn ihre Brennpunkte F1 [-10;2], F2 [16;2] sind. Reelle Achse 2a = 24

Lösung:

kuzelosecky-22

Die Hyperbel hat die Gleichung

23.Bestimme die Gleichung der Geraden, auf der die Symmetrieachse des Segments liegt, das die Mittelpunkte der Hyperbeln x² – y² + 6x - 8y – 107 = 0 und 16x² -9y² -160x + 36y +220 = 0 verbindet.

Lösung:

kuzelosecky-23

Gleichung der Symmetrieachse

24.Gegeben ist die Hyperbel 16x² – 25y² – 400 = 0. Bestimme: a) die Gleichungen der Asymptoten, b) den Winkel zwischen den Asymptoten

Lösung:

kuzelosecky-24

Gleichungen der Asymptoten und Winkel zwischen den Asymptoten

25.Schreibe die Zentralgleichung der Hyperbel, die durch die Punkte geht:

Lösung:

kuzelosecky-25r

Die Gleichung der Hyperbel lautet

26.Beweise, dass das Produkt der Abstände eines beliebigen Punktes M der Hyperbel 2x² – y² – 2 = 0 von ihren Asymptoten konstant ist und gleich 2 : 3.

Lösung:

kuzelosecky-26

Die Behauptung ist bewiesen

27.Finde die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Verhältnis der Abstände zum Punkt M [-5;0] und zur Geraden p: 5x + 16 = 0 konstant 5 : 4 ist.

Lösung:

kuzelosecky-27

Die Punktmenge ist eine Hyperbel

28.Schreibe die Gleichung der Hyperbel, deren Scheitel in den Brennpunkten der Ellipse x² + 2y² – 18 = 0 liegen und deren Brennpunkte in den Scheiteln dieser Ellipse.

Lösung:

kuzelosecky-28

Gleichung der Hyperbel

29.Schreibe die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt M [5 ; 4] und den Scheitel V der Parabel y² - 6x + 10y + 31 = 0 verläuft.

Lösung:

kuzelosecky-29

Gleichung der Verbindungsgeraden

30.Gegeben sind die Parabeln x² - 8x - 3y + 10 = 0 und x² + 14x - 4y + 61 = 0. Berechne den Abstand ihrer Scheitel |V₁V₂|

Lösung:

kuzelosecky-30

Abstand zwischen den Scheiteln der Parabeln

31.Bestimme die Gleichung einer Parabel (Öffnung parallel zur y-Achse), die durch die Punkte K[1;2], L[3;1], M[7;5] geht.

Lösung:

x² + Ax + By + C = 0

K: 1 + A + 2B + C = 0

L: 9 + 3A + B + C = 0

M: 49 + 7A + 5B + C = 0

A = -6, B = -4, C = 13,

x² – 6x – 4y + 13 = 0

x² – 6x + 9 = 4y - 13 + 9

(x – 3)² = 4y – 4

(x – 3)² = 4·(y – 1)

Die Gleichung der Parabel lautet (x – 3)² = 4(y – 1).

32.Auf welcher Kurve liegen die Punkte der Ebene, deren Summe der Abstände von der x-Achse und vom Punkt B[8;0] konstant und gleich 24 ist.

Lösung:

kuzelosecky-32

Die Kurve ist die Parabel (x-8)² = -48(y-12), die sich in negativer y-Richtung öffnet.

33.Die Parabel hat die Gleichung p: y² = 8x. Berechne die Koordinaten des Quadrats ABCD, wenn A mit dem Scheitel der Parabel zusammenfällt, C auf der x-Achse liegt und die Punkte B, D auf der Parabel.

Lösung:

kuzelosecky-33