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Mathematik

Vektor im Raum

1. Welche Eigenschaften hat ein Vektor im Raum?

Lösung:

Vektor

A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3),u⃗=AB→=B−A=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)=(u1,u2,u3)

∣u⃗∣=u12+u22+u32|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}

S=A+B2,S(a1+b12, a2+b22, a3+b32)S = \frac{A + B}{2},\quad S\left( \frac{a_1 + b_1}{2},\; \frac{a_2 + b_2}{2},\; \frac{a_3 + b_3}{2} \right)

ku⃗=(ku1,ku2,ku3)k\vec{u} = (k u_1, k u_2, k u_3)

Skalarprodukt (Punktprodukt) zweier Vektoren

u⃗=(u1,u2,u3),v⃗=(v1,v2,v3)\vec{u} = (u_1, u_2, u_3),\quad \vec{v} = (v_1, v_2, v_3)

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡φ=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}| \cos \varphi = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

Winkel zwischen zwei Vektoren cos⁡φ=u1v1+u2v2+u3v3∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos \varphi = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}


 

Bedingung dafür, dass zwei Vektoren senkrecht sind

u1v1+u2v2+u3v3=0u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 0

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

u⃗=(u1,u2,u3),v⃗=(v1,v2,v3)\vec{u} = (u_1, u_2, u_3), \quad \vec{v} = (v_1, v_2, v_3)w⃗=u⃗×v⃗=(u2v3−v2u3, u3v1−v3u1, u1v2−v1u2)\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - v_2 u_3,\; u_3 v_1 - v_3 u_1,\; u_1 v_2 - v_1 u_2)w⃗⊥u⃗undw⃗⊥v⃗\vec{w} \perp \vec{u} \quad \text{und} \quad \vec{w} \perp \vec{v}

Lineare Abhängigkeit

Vektoren sind linear abhängig, wenn es reelle Zahlen k,l,m,…k, l, m, \ldots gibt – mindestens eine davon ungleich null –, sodass:

ku⃗+lv⃗+mw⃗=0⃗k\vec{u} + l\vec{v} + m\vec{w} = \vec{0}

2.Bestimme die Länge der Strecke AB, deren Mittelpunkt S im Ursprung der Koordinatenachsen liegt und deren Punkt A [6; -2; 3] ist.

Lösung:

vektor-v-priestore-2

Die Länge der Strecke ist |AB| = 14j

3.Bestimme die Koordinaten des Eckpunkts C [c1; c2; c3] im Dreieck ΔABC, wenn die Eckpunkte und der Schwerpunkt gegeben sind: A [3;3;3], B [-2;1;2], T [0;-1;0]. Bestimme außerdem den Umfang dieses Dreiecks.

Lösung:

vektor-v-priestore-3

Der Umfang des Dreiecks ist ungefähr 29,6 j.

4.Bestimme auf der z-Achse den Punkt, der von den Punkten A [ -2;1;4] und B [3;0;1] gleich weit entfernt ist.

Lösung:

vektor-v-priestore-4

5. Im Parallelepiped ABCDEFGH sind die Koordinaten der Punkte A[2;-3;1], B[3;-4;2], D[4;2;-3], E[5;3;4] bekannt. Berechne die Koordinaten der übrigen Punkte C, F, H, G.

Lösung:

vektor-v-priestore-5

Die höchsten Eckpunkte sind

6.Beweise, dass das Dreieck ΔABC gleichschenklig und rechtwinklig ist, wenn: A[2;-4;9], B[-1;-4;5], C[6;-4;6]

Lösung:

vektor-v-priestore-6

Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig, weil b = c, α = 90o

7.Gegeben sind die Vektoren:

 vektor-v-priestore-7z

Bestimme, ob sie linear abhängig sind.

Lösung:

vektor-v-priestore-7r

Die Vektoren sind linear abhängig

8.Untersuche, ob die gegebenen vier Punkte in einer Ebene liegen. A[1;2;-1], B[0;1;5], C[-1;2;1], D[2;1;3]

Lösung:

 

Aus den gegebenen vier Punkten bilden wir drei beliebige Vektoren.
Sind sie linear abhängig, so liegen die vier gegebenen Punkte in einer Ebene.

u⃗=AB→=B−A=(−1;−1;6)\vec{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (-1; -1; 6)v⃗=BC→=C−B=(−1;1;−4)\vec{v} = \overrightarrow{BC} = C - B = (-1; 1; -4)w⃗=CD→=D−C=(3;−1;2)\vec{w} = \overrightarrow{CD} = D - C = (3; -1; 2)

ku⃗+lv⃗+mw⃗=0k\vec{u} + l\vec{v} + m\vec{w} = 0u:−l−l+3m=0u: -l - l + 3m = 0v:−k+l−m=0v: -k + l - m = 0w:6k−4l+2m=0w: 6k - 4l + 2m = 0

Sei m=1. Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man k=1k = 1, l=2.

u+2v+w=0u + 2v + w = 0Die Vektoren sind linear abhängig, daher liegen die Punkte A, B, C, D in einer Ebene.

9.Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ΔABC, dessen Eckpunkte in den Punkten liegen:

vektor-v-priestore-9z

Lösung:

vektor-v-priestore-9r

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist S = 10j2

10.Berechne das Volumen der viereckigen Pyramide ABCDV, deren Eckpunkte gegeben sind: A[2;0;0], B[0;3;0], D[0;0;6], V[2;3;8]

Lösung:

vektor-v-priestore-10

11. Bestimme die Länge der Seitenhalbierenden im Dreieck ABC, wenn A[1;0;2], B[-2;1;-3], C[0;-1;1].

Lösung:

vektor-v-priestore-11.gif

12. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte der Strecken AB und CD, wenn:

vektor-v-priestore-12z.gif

Lösung:

vektor-v-priestore-12r.gif

13.Seien A[1;2;8] und B[4;y;4], und |AB| = 5. Wie groß ist y?

Lösung:

vektor-v-priestore-13.gif

Der gesuchte Punkt ist B[4;2;4].

14. Gegeben sind die Punkte K, L, M, N. Berechne die Koordinaten des Punktes N, wenn:

vektor-v-priestore-14z.gif

Lösung: 

vektor-v-priestore-14r.gif 

Der gesuchte Punkt ist N [-4;3;-1].

15.Gegeben sind die Punkte A[4;-3;2], B[5;0;-1]. Bestimme die Zahlen m, n, so dass der Punkt C[2;m;n] auf dem Vektor AB liegt.

Lösung:

vektor-v-priestore-15.gif

Der gesuchte Punkt ist C[2;-9;8].

16.Bestimme die gegenseitige Lage (Beziehung) der Vektoren

vektor-v-priestore-16z.gif

Lösung:

vektor-v-priestore-16r.gif

Die gegebenen Vektoren sind zueinander senkrecht.

17. Gegeben sind drei Punkte im Raum A, B, C. Berechne das Maß des Winkels

vektor-v-priestore-17z.gif

Lösung:

vektor-v-priestore-17r.gif

Der Winkel zwischen den Vektoren ist α = 60°.

18.Berechne Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn seine Eckpunkte sind:

A[0;1;2], B[1;2;0], C[2;0;1]

Lösung:

vektor-v-priestore-18.gif

19. Im Dreieck ABC sind die Eckpunkte A, B und der Schwerpunkt T gegeben. Bestimme die Koordinaten des Eckpunkts C, wenn

A[3;3;3], B[-2;1;2], T[0;-1;0], C[x,y,z]

Lösung:

vektor-v-priestore-19.gif

Der dritte Eckpunkt von ΔABC ist C[-1;-6;-5].

20.Stelle den Vektor u als Linearkombination der Vektoren v und w dar, wenn:

vektor-v-priestore-20z.gif

Lösung:

vektor-v-priestore-20r.gif