Geometrische Bedeutung der Ableitung

Lösung:

Mit Hilfe der Ableitung der Funktion y = f(x) können wir die Gleichung der Tangente oder die Gleichung der Normalen an den Graphen der Funktion im Punkt T [x_T , y_T] aufstellen.

Gleichung der Tangente:

$$y - y_T = k_t (x - x_T), \quad k_t = f'(x_T)$$

Gleichung der Normalen:

$$y - y_T = k_n (x - x_T), \quad k_n = -\frac{1}{f'(x_T)}$$

Der Punkt T [x_T, f(x_T)] ist der gemeinsame Punkt der Tangente (oder Normalen) mit dem Graphen der Funktion.

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Subtangente und Subnormale:

Die Tangente, die Normale und die x-Achse bilden ein rechtwinkliges Dreieck Δ ABT (Rechter Winkel im Scheitelpunkt T).

Es gilt:

• Der Punkt T liegt auf der Geraden t,

• Der Punkt A liegt auf der Geraden t ∩ x-Achse,

• Der Punkt B liegt auf der Geraden n ∩ x-Achse.

• Der Punkt T₁ [x_T; 0] ist die orthogonale Projektion des Punktes T auf die x-Achse.

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Subtangente Sₜ ist die Länge der Strecke $|AT_1|$:

$$S_t = \left| \frac{y}{y'} \right|$$

Subnormale Sₙ ist die Länge der Strecke $|T_1B|$:

$$S_n = |y \cdot y'|$$

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Länge der Tangentenstrecke TA = t:

$$t^2 = y^{2} + S_t^{2$$

Länge der Normalenstrecke TB = n:

$$n^2 = y^{2} + S_n^{2}$$

Lösung:

Gleichung der Tangente                     Gleichung der Normalen

Lösung:

Gleichung der Tangente                      Gleichung der Normalen

Lösung:

Gleichung der Tangente                              Gleichung der Normalen

Lösung:

Gleichung der Tangente                             Gleichung der Normalen

Lösung:

Gleichung der Tangente                        Gleichung der Normalen

Lösung:

Gleichung der Tangente               Gleichung der Normalen existiert nicht

Lösung:

Gleichung der Tangente 

Lösung:

Gleichung der Tangente

Lösung:

Für horizontale Tangenten (parallel zur x-Achse) gilt:

 

Die Berührpunkte sind T₁[1 ; 10] und T₂[5; -22]. 

Lösung:

Der Winkel zwischen den Tangenten ist φ = 62⁰

Lösung:

Punkt T:

$$y_T = 2\sqrt{1} = 2,\quad T[1;2]$$

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a) Subtangente:

$$S_t = \left| \frac{y}{y'} \right| = \left| \frac{2\sqrt{x}}{2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}} \right| = 2x = 2 \cdot 1 = 2$$

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b) Subnormale:

$$S_n = |y \cdot y'| = \left| 2\sqrt{x} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right| = 2$$

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c) Tangente (Länge der Tangentenstrecke):

$$t^2 = y_T^2 + S_t^2$$$$t^2 = 2^2 + 2^2$$$$t = \sqrt{8}$$$$t = 2\sqrt{2}$$

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d) Normale (Länge der Normalenstrecke):

$$n^2 = y_T^2 + S_n^2$$$$n^2 = 2^2 + 2^2$$$$n = \sqrt{8}$$$$n = 2\sqrt{2}$$

Lösung:

Punkt T : y_T = 2¹ = 2, T[1 ; 2 ]

a) Subtangente

Gegeben ist die Funktion:

$$y = 2^x$$

Die Subtangente ist:

$$S_t = \left|\frac{y}{y'}\right|$$

Da:

$$y' = 2^x \ln 2$$

erhalten wir:

$$S_t = \left|\frac{2^x}{2^x \ln 2}\right| = \frac{1}{\ln 2}$$

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b) Subnormale

Gegeben ist:

$$y = 2^x$$

Die Subnormale ist:

$$S_n = |y \cdot y'|$$

Einsetzen ergibt:

$$S_n = |2^x \cdot 2^x \ln 2| = 2^{2x} \ln 2 = 2^{2\cdot 1} \ln 2 = 2^2 \ln 2$$

Somit:

$$S_n = 4 \ln 2$$

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c) Tangentenlänge

$$t^2 = y_T^2 + S_t^2$$

Gegeben ist:

$$y_T = 2 \quad\text{and}\quad S_t = \frac{1}{\ln 2}$$

Also gilt:

$$t^2 = 2^2 + \left(\frac{1}{\ln 2}\right)^2$$$$t^2 = 4 + \frac{1}{(\ln 2)^2}$$$$t = \sqrt{4 + \frac{1}{(\ln 2)^2}}$$$$t = \frac{\sqrt{1 + 4(\ln 2)^2}}{\ln 2}$$

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d) Normallänge

$$n^2 = y_T^2 + S_n^2$$$$n^2 = 2^2 + (4 \ln 2)^2$$$$n^2 = 4 + 16(\ln 2)^2$$$$n = 2 \sqrt{1 + 4 (\ln 2)^2$$

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