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Mathematik

Die Menge

1. Erkläre den Begriff einer Menge und die Mengenoperationen.

Lösung:

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Gegenständen (Objekten, Personen, Zahlen usw.),
die wir Elemente nennen. Eine Menge ist festgelegt, wenn wir für jedes Objekt entscheiden können, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Mengen bezeichnen wir mit Großbuchstaben A, B, M, Q, R…
Elemente einer Menge bezeichnen wir mit Kleinbuchstaben a, b, x, y, …

A={2; −5; 73; x},−5∈A,y∉AA = \{2;\,-5;\,\tfrac{7}{3};\,x\},\quad -5 \in A,\quad y \notin A

Darstellung einer Menge

a) Durch Aufzählung aller Elemente

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

b) Durch Angabe einer gemeinsamen Eigenschaft der Elemente, die zur Menge gehören

A={x∈N; x≤7}A = \{x \in \mathbb{N};\ x \leq 7\}

Mengenoperationen

Komplement der Menge A ist die Menge aller Elemente von M, die nicht zur Menge A gehören.

A′={x∈M; x∉A}A' = \{x \in M;\ x \notin A\}

Schnittmenge (Durchschnitt) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente von M, die zugleich zu A und zu B gehören.

A∩B={x∈M; x∈A und x∈B}A \cap B = \{x \in M;\ x \in A \ \text{and} \ x \in B\}

Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente von M, die zu A oder zu B gehören (sie können auch zu beiden gehören).

A∪B={x∈M; x∈A oder x∈B}A \cup B = \{x \in M;\ x \in A \ \text{or} \ x \in B\}

Differenz zweier Mengen A – B ist die Menge aller Elemente von M, die zu A gehören und nicht zu B.

A−B={x∈M; x∈A und x∉B}A - B = \{x \in M;\ x \in A \ \text{and} \ x \notin B\}

Teilmenge:
Die Menge B ist eine Teilmenge der Menge A, wenn alle Elemente von B auch zu A gehören.

B⊆A ⟺ (∀x∈M; x∈B⇒x∈A)B \subseteq A \iff (\forall x \in M;\ x \in B \Rightarrow x \in A

2. Liste alle Elemente der folgenden Mengen auf:

Mengen – Aufgabe 2

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 2

3. Es sind folgende Mengen gegeben:

Mengen – Aufgabe 3

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 3

4. Es sind folgende Mengen gegeben:

Mengen – Aufgabe 4

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 4

5. Es sind folgende Mengen gegeben:

Mengen – Aufgabe 5

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 5

6. Stelle die gegebenen Mengen als Intervalle dar:

Mengen – Aufgabe 6

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 6

7. Es sind folgende Intervalle gegeben:

Mengen – Aufgabe 7

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 7

8. Erkläre, wie man die Anzahl der Elemente in endlichen Mengen berechnet.

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 8

9. Auf einem Empfang der Botschaft spricht jeder mindestens eine Fremdsprache. 15 Personen sprechen Englisch, 12 sprechen Deutsch und 7 sprechen beide Sprachen. Wie viele Personen sind insgesamt anwesend, wenn niemand andere Sprachen spricht?

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 9

Die Gruppe besteht aus 20 Personen.

10.Von 35 Schülern abonnieren 8 die Tageszeitung SME, 10 die Pravda und 21 Schüler abonnieren keine dieser Zeitungen. Wie viele Schüler abonnieren beide Zeitungen?

Lösung:

 Mengen – Lösung zu Aufgabe 10

4 Schüler abonnieren beide Zeitungen.

11.An einem Tag reparierte die Autowerkstatt 24 Bremsprobleme und 36 Motorprobleme an 46 Autos. Wie viele Autos hatten nur Bremsprobleme und wie viele nur Motorprobleme?

Lösung:

 Mengen – Lösung zu Aufgabe 11

  • Probleme gleichzeitig mit Bremsen und Motor: 14
  • Nur Bremsprobleme: 24-14 = 10
  • Nur Motorprobleme: 36-14 = 22

12.Eine Umfrage zu Lesegewohnheiten ergab: 60 % der Schüler lesen Zeitschrift A, 50 % Zeitschrift B, 50 % Zeitschrift C, 30 % sowohl A als auch B, 20 % sowohl B als auch C, 30 % sowohl A als auch C und 10 % alle drei Zeitschriften. Wie viel Prozent der Schüler lesen genau zwei Zeitschriften und wie viel Prozent lesen keine dieser Zeitschriften?

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 12 

  • Genau zwei Zeitschriften: 20 %+20 %+10 % = 50 % der Schüler
  • Keine dieser Zeitschriften: 10 % der Schüler

13.Stelle die Mengen mit Hilfe von Venn-Diagrammen dar:

Mengen – Aufgabe 13

Lösung:

Mengen – Lösung zu Aufgabe 13