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Physik

Linsen

1. Erkläre die Bildentstehung mit Linsen.

Lösung:

Eine Linse ist ein homogener Körper, der begrenzt ist durch:

  • zwei kugelförmige Flächen

  • eine kugelförmige Fläche und eine Ebene

Eine Linse erzeugt ein Bild durch Lichtbrechung. Es gibt zwei Arten von Linsen:

  • sammelnd (konvex)

  • zerstreuend (konkav)

Dünne Linse mit gleichen Krümmungsradien:

  • f = Brennweite

  • r = 2·f = Krümmungsradius

  • a = Gegenstandsweite

  • á = Bildweite

  • y = Gegenstandshöhe

  • ý = Bildhöhe

Vergrößerung des Bildes:

Z=y^y=−a^a=−fa−f=aa−fZ = \frac{\hat{y}}{y} = -\frac{\hat{a}}{a} = -\frac{f}{a - f} = \frac{a}{a - f}

Gegenstandsraum = Raum vor der Linse (linke Seite)
Bildraum = Raum hinter der Linse (rechte Seite)

Vorzeichenkonvention:

  • r₁, r₂ positiv (negativ) – kugelförmige Flächen konvex (konkav)

  • a positiv – Gegenstand im Gegenstandsraum

  • á positiv (negativ) – Bild im Bildraum (Gegenstandsraum)

  • y, ý positiv (negativ) – oberhalb (unterhalb) der optischen Achse

Linsengleichung:

1a+1a^=1f

\frac{1}{a} + \frac{1}{\hat{a}} = \frac{1}{f}1f=(n2n1−1)(1r1−1r2)\frac{1}{f} = \left(\frac{n_2}{n_1} - 1\right)\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)

n₂ = Brechungsindex der Linse, n₁ = Brechungsindex des umgebenden Mediums

Brechkraft einer Linse Φ:

Φ=1f,[Φ]=m−1=D=diopter\Phi = \frac{1}{f}, \quad [\Phi] = m^{-1} = D = diopter

  • Φ > 0 → Sammellinse

  • Φ < 0 → Zerstreuungslinse

 

2. Bestimme die Brennweite der Linsen, wenn ihre Brechkraft ist:

  • a) φ = 2D
  • b) φ = -12D

Lösung:

Analyse:

 physics-lenses-2.gif

Die Brennweite der Linsen beträgt 0.5m und –8.3cm.

3. Bestimme die Brechkraft einer bikonvexen Linse mit r1 = r2 = 0.4m aus Steinsalz (n2 = 1.537) in Luft (n1 = 1) und in Schwefelkohlenstoff (n1 = 1.609).

Lösung:

Analyse:

 physics-lenses-3.gif

Die Brechkraft der Linse in Luft beträgt 2.7D, in Schwefelkohlenstoff –0.22D.

4. In welchem Abstand vom Objektiv (Sammellinse) muss der Projektionsschirm aufgestellt werden, damit das Bild 50-fach vergrößert wird? Die Brennweite der Linse ist f = 10cm. Für ein reelles Bild, das von einer Sammellinse erzeugt wird, gilt Z < 0.

Lösung:

Analyse:

 physics-lenses-4.gif

Der Projektionsschirm sollte 5.1m vom Objektiv entfernt aufgestellt werden.

5. Der Abstand zwischen einer Kerze und einer Wand beträgt 100cm. In welchem Abstand von der Kerze (zwischen Kerze und Wand) soll eine Sammellinse mit f = 9cm aufgestellt werden, damit auf der Wand ein scharfes Bild entsteht?

Lösung:

Analyse:

a = Abstand von der Kerze zur Linse
á = Abstand von der Linse zur Wand
a + á = 100cm, f = 9cm

physics-lenses-5.gif 

Die Linse sollte 10cm von der Kerze und 90cm von der Wand entfernt stehen (oder umgekehrt).

6. Vor einer Sammellinse steht eine Kerze mit einer Flammenhöhe von 5cm. Die Linse erzeugt auf dem Schirm ein Bild mit einer Flammenhöhe von 15cm. Wird die Kerze um 1.5cm von der Linse weg bewegt, entsteht erneut ein scharfes Bild auf dem Schirm mit einer Höhe von 10cm. Bestimme die Brennweite der Linse.

Lösung:

Analyse:

15 cm,y2​=5 cm,y2′​=10 cm,f=?

Vor dem Verschieben:

∣Z1∣=y1′y1=15 cm5 cm=3,a1′=3a,a=object distance|Z_1| = \frac{y'_1}{y_1} = \frac{15\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 3, \qquad a'_1 = 3a, \qquad a = \text{object distance}

1a1+1a1′=1f\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a'_1} = \frac{1}{f}

1a+13a=1f\frac{1}{a} + \frac{1}{3a} = \frac{1}{f}

Nach dem Verschieben:

∣Z2∣=y2′y2=10 cm5 cm=2,a2=a+1.5,a2′=2a2=2(a+1.5)|Z_2| = \frac{y'_2}{y_2} = \frac{10\text{ cm}}{5\text{ cm}} = 2, \qquad a_2 = a + 1.5, \qquad a'_2 = 2a_2 = 2(a + 1.5)

1a2+1a2′=1f\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a'_2} = \frac{1}{f}

1a+1.5+12(a+1.5)=1f\frac{1}{a + 1.5} + \frac{1}{2(a + 1.5)} = \frac{1}{f}

1f=1f\frac{1}{f} = \frac{1}{f}

1a+13a=1a+1.5+12(a+1.5)

\frac{1}{a} + \frac{1}{3a} = \frac{1}{a + 1.5} + \frac{1}{2(a + 1.5)}43a=32(a+1.5)\frac{4}{3a} = \frac{3}{2(a + 1.5)}

8(a+1.5)=9a8(a + 1.5) = 9a

a=12 cm,1f=43aa = 12\text{ cm}, \qquad \frac{1}{f} = \frac{4}{3a}

f=3a4=3⋅12 cm4=9 cmf = \frac{3a}{4} = \frac{3 \cdot 12\text{ cm}}{4} = 9\text{ cm}

f=9 cmf = 9\text{ cm

Die Brennweite der Linse ist f = 9cm.

7. Eine dünne Glaslinse hat in Luft (n = 1) einen Brechungsindex n1 = 1.7 und eine Brechkraft φ = 4D. Welche Brechkraft hat dieselbe Linse, wenn sie in eine Flüssigkeit mit Brechungsindex n2 = 1.85 getaucht wird?

Lösung:

Analyse:

physics-lenses-7.gif 

Die Brechkraft der Linse in der Flüssigkeit ist φ = 0.5D. Es ist eine Sammellinse.

8. Ein zylindrischer Strahlenbündel, der zur optischen Achse parallel ist, trifft auf eine Zerstreuungslinse. Der Bündeldurchmesser beträgt 5cm. Auf einem 20cm hinter der Zerstreuungslinse aufgestellten Schirm entsteht ein kreisförmiger Fleck mit einem Durchmesser von 15cm. Bestimme die Brennweite der Zerstreuungslinse.

Lösung:

Analyse:

physics-lenses-8.gif 

Die Brennweite der Zerstreuungslinse ist f = –10cm.

9. Eine dünne Zerstreuungslinse hat eine Brennweite von 20cm. Eine Kerze wird vor der Linse zuerst in 20cm, dann in 30cm Abstand aufgestellt. Berechne den Abstand zwischen den von der Linse erzeugten Bildern der Kerzenflamme (f < 0).

Lösung:

Analyse:

physics-lenses-9.gif 

Der Abstand zwischen den von der Zerstreuungslinse erzeugten Bildern beträgt x = 2cm.

10. Eine Meniskuslinse mit einem Brechungsindex von 1.6 hat eine Brechkraft von φ = 1.25m-1. Eine der Linsenflächen hat einen Krümmungsradius von 120mm. Bestimme den Krümmungsradius der anderen Fläche.

Lösung:

Analyse:

 physics-lenses-10.gif

  • Ist r1 = 120mm, dann ist r2 = –160mm.
  • Ist r1 = –120mm, dann ist r2 = 96mm.