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Physik

Photometrie

1. Was sind die wichtigen Begriffe der Photometrie?

Lösung:

Photometrie ist ein Teil der Optik, der sich mit der durch Licht übertragenen Energie und den sichtbaren Wirkungen des Lichts beschäftigt.

Die wichtigsten Begriffe der Photometrie sind:
a) Raumwinkel
b) Lichtstrom
c) Lichtstärke einer Quelle
d) Beleuchtungsstärke

Raumwinkel (Ω) ist ein Kegel mit seiner Spitze in einer punktförmigen Lichtquelle, der auf einer Kugel mit dem Radius r eine Fläche S ausschneidet.

Ω=Sr2,[Ω]=Steradiant=sr\Omega = \frac{S}{r^2}, \quad [\Omega] = \text{steradian} = sr

Lichtstrom (Φ) ist die Strahlungsenergie, die in der Zeit t durch eine Fläche S hindurchtritt.

Φ=EsS⋅t,[Φ]=W⋅m−2=lumen=lm\Phi = \frac{E_s}{S \cdot t}, \quad [\Phi] = W \cdot m^{-2} = lumen = lm

Lichtstärke (I) ist der Lichtstrom Φ, der in den Raumwinkel Ω ausgesendet wird.

I=ΦΩ,[I]=Candela=cd,S=4πr2I = \frac{\Phi}{\Omega}, \quad [I] = \text{candela} = cd, \quad S = 4 \pi r^2

Beleuchtungsstärke (E) ist der auf eine Flächeneinheit fallende Lichtstrom.

E=ΦS=lmm2=lux=lxE = \frac{\Phi}{S} = \frac{lm}{m^2} = lux = lx

 E=Ir2cos⁡α,α=0∘⇒E=Ir2E = \frac{I}{r^{2}} \cos \alpha, \qquad \alpha = 0^{\circ} \Rightarrow E = \frac{I}{r^{2}}


wobei
α\alpha = der Winkel zwischen dem Flächennormalen und der Ausbreitungsrichtung des Lichts ist.

 

2.Definieren Sie:

  • Candela
  • Lumen
  • Lux

Lösung:

  • Eine Candela (cd) ist 1/600 000 von 1 m2 der Oberfläche eines absolut schwarzen Körpers am Schmelzpunkt von Platin (17730C) bei Normaldruck (101,325 Pa). Ein absolut schwarzer Körper ist ein fiktiver Körper, der die gesamte einfallende Strahlung absorbieren würde.
  • Ein Lumen (lm) ist der Lichtstrom, den eine punktförmige Lichtquelle mit der Lichtstärke eine Candela in einen Raumwinkel von einem Steradiant aussendet.
  • Eine Fläche hat eine Beleuchtungsstärke von einem Lux (lx), wenn ein Lichtstrom von einem Lumen auf 1 m2 dieser Fläche fällt.

3. Das menschliche Auge nimmt bei einer minimalen Netzhautbeleuchtungsstärke von E = 2·10-9 lx einen Lichtreiz wahr. Aus welcher maximalen Entfernung kann man unter idealen Bedingungen (absolute Dunkelheit) eine Kerzenflamme mit der Lichtstärke I = 1 cd beobachten?

Lösung:

Analyse:

physics-photometry-3.gif 

Die Kerzenflamme kann aus einer maximalen Entfernung von 22,4 km beobachtet werden.

4.Ein Photometer wird auf der einen Seite von einer Glühlampe mit I1 = 50 cd in einem Abstand r1=0,6 m beleuchtet. Auf der anderen Seite befindet sich in einem Abstand r2 = 0,96 m eine Glühlampe unbekannter Lichtstärke (I2 = ?). Wie groß ist ihre Lichtstärke, wenn das Photometer von beiden Seiten gleich stark beleuchtet wird?

Lösung:

Analyse:

 physics-photometry-4.gif

Die Lichtstärke der zweiten Glühlampe beträgt I2 = 128 cd.

5.Über einer kreisförmigen Platte mit Radius r = 0,8 m hängt in der Höhe h1 = 2 m eine Glühlampe mit der Lichtstärke I = 50 cd. Bestimmen Sie die Beleuchtungsstärke

  • a) im Zentrum der Platte
  • b) am Rand der Platte

Lösung:

Analyse:

I = 50 cd,  r = 0,8 m,  h1 = 2 m,  h2 = ? = Abstand von der Glühlampe zum Rand der Tischplatte. Die Größen r, h1, h2 bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h2. Der Winkel α ist der spitze Winkel gegenüber der Kathete r.

 

Beleuchtungsstärke im Zentrum der Platte:

E1=Ih12⋅cos⁡αE_1 = \frac{I}{h_1^2} \cdot \cos\alpha

E1=50 cd(2 m)2⋅cos⁡0∘=50 cd4 m2⋅1=12.5 cd m−2=12.5 lxE_1 = \frac{50\,\text{cd}}{(2\,\text{m})^2} \cdot \cos 0^\circ = \frac{50\,\text{cd}}{4\,\text{m}^2} \cdot 1 = 12.5 \,\text{cd m}^{-2} = 12.5 \,\text{lx}E1=12.5 lxE_1 = 12.5\,\text{lx}

Beleuchtungsstärke am Rand der Platte:

h2=h12+r2h_2 = \sqrt{h_1^2 + r^2}

h2=(2 m)2+(0.8 m)2=2.15 mh_2 = \sqrt{(2\,\text{m})^2 + (0.8\,\text{m})^2} = 2.15\,\text{m}

E2=Ih22⋅cos⁡α=Ih22⋅h1h2=I⋅h1h23E_2 = \frac{I}{h_2^2} \cdot \cos\alpha = \frac{I}{h_2^2} \cdot \frac{h_1}{h_2} = \frac{I \cdot h_1}{h_2^3}

E2=50 cd⋅2 m(2.15 m)3=10 lxE_2 = \frac{50\,\text{cd} \cdot 2\,\text{m}}{(2.15\,\text{m})^3} = 10\,\text{lx}

E2=10 lxE_2 = 10\,\text{lx}

Die Beleuchtungsstärke im Zentrum der Tischplatte beträgt 12,5 Lux, am Rand 10 Lux.

6.Zwei Glühlampen mit den Lichtstärken I1 = 80 cd und I2 = 200 cd hängen in der Höhe h = 2,5 m über einer horizontalen Tischfläche. Ihr gegenseitiger Abstand beträgt d = 3 m. Wie groß ist die Beleuchtungsstärke auf dem Tisch an dem Punkt, an dem die Strahlen der ersten Lampe auftreffen?

Lösung:

Analyse:

 

I₁ = 80 cd, I₂ = 200 cd, h₁ = 2,5 m, d = 3 m, h₂ = ?, E₁ = ?, E₂ = ?, E = ?

Beleuchtungsstärke durch die erste Lampe:

E1=I1h12E_1 = \frac{I_1}{h_1^2}

E1=80 cd(2.5 m)2=12.8 lxE_1 = \frac{80 \,\text{cd}}{(2.5\,\text{m})^2} = 12.8 \,\text{lx}

E1=12.8 lxE_1 = 12.8 \,\text{lx}

Beleuchtungsstärke durch die zweite Lampe:

h2=h12+d2h_2 = \sqrt{h_1^2 + d^2}

h2=(2.5 m)2+(3 m)2=3.9 mh_2 = \sqrt{(2.5\,\text{m})^2 + (3\,\text{m})^2} = 3.9\,\text{m}

E2=I2h22⋅cos⁡α=I2h22⋅h1h2E_2 = \frac{I_2}{h_2^2} \cdot \cos\alpha = \frac{I_2}{h_2^2} \cdot \frac{h_1}{h_2}

E2=200 cd⋅3 m(3.9 m)3=10 lxE_2 = \frac{200\,\text{cd} \cdot 3\,\text{m}}{(3.9\,\text{m})^3} = 10\,\text{lx}

E2=10 lxE_2 = 10\,\text{lx}

Gesamtbeleuchtungsstärke:

E=E1+E2E = E_1 + E_2

E=12.8 lx+10 lx=22.8 lxE = 12.8\,\text{lx} + 10\,\text{lx} = 22.8\,\text{lx

E=22.8 lxE = 22.8\,\text{lx}

Die resultierende Beleuchtungsstärke beider Lampen beträgt E = 22,8 Lux.

7. Die Beleuchtungsstärke einer horizontalen Erdoberfläche beträgt bei einer Sonnenhöhe von 450 E1 = 80 000 lx. Bestimmen Sie die Beleuchtungsstärke der Erdoberfläche, wenn die Sonnenhöhe 250 beträgt.

Lösung:

Analyse:

physics-photometry-7.gif

Die Beleuchtungsstärke der Erdoberfläche bei einer Sonnenhöhe von 250 beträgt 47 800 Lux.

8. Eine Wand wird von zwei identischen Kerzen beleuchtet, die nebeneinander in einem Abstand von 0,8 m von der Wand stehen. Um welche Strecke x muss eine Kerze näher an die Wand gerückt werden, wenn die andere erlischt (I2 = 0), damit die Wand gleich stark beleuchtet ist wie zuvor?

Lösung:

Analyse:

  • Erste Stellung der Kerzen 
  • Zweite Stellung der Kerzen

physics-photometry-8.gif

Die Kerze muss um 23 cm näher an die Wand gerückt werden.

9.Eine Kreisfläche mit Radius r = 3 m wird von einem Reflektor aus der Entfernung h = 60 m beleuchtet. Die Beleuchtungsstärke der Fläche beträgt E = 4 lx. Berechnen Sie:

  • a) die Lichtstärke der Quelle
  • b) den auf die Fläche fallenden Lichtstrom

Lösung:

Analyse:

r = 3 m, h = 60 m, E = 4 lx, I = ?, Φ = ?

Lichtstärke des Reflektors:

E=Ih2E = \frac{I}{h^2}I=E⋅h2I = E \cdot h^2

I=4 lx⋅(60 m)2=14400 cd=1.44⋅104 cdI = 4\,\text{lx} \cdot (60\,\text{m})^2 = 14400\,\text{cd} = 1.44 \cdot 10^4\,\text{cd}

I=1.44⋅104 cdI = 1.44 \cdot 10^4\,\text{cd}

Lichtstrom:

E=ΦSE = \frac{\Phi}{S}

Φ=E⋅S\Phi = E \cdot S Φ=E⋅1h2⋅πr2\Phi = E \cdot \frac{1}{h^2} \cdot \pi r^2Φ=1.44⋅104 cd(60 m)2⋅3.14⋅(3 m)2=113 lm\Phi = \frac{1.44 \cdot 10^4\,\text{cd}}{(60\,\text{m})^2} \cdot 3.14 \cdot (3\,\text{m})^2 = 113\,\text{lm}

Φ=113 lm\Phi = 113\,\text{lm}

Die Lichtstärke des Reflektors beträgt I = 1,44 cd, der Lichtstrom Φ = 113 lm. 

10. Zwei Lichtquellen mit den Lichtstärken I1 = 25 cd und I2 = 49 cd sind in einem Abstand d = 1 m voneinander aufgestellt. An welcher Stelle auf der Verbindungslinie soll ein Schirm angebracht werden, damit er von beiden Quellen gleich stark beleuchtet wird? (I2 befindet sich links von I1)

Lösung:

Analyse:

 physics-photometry-10.gif

Es gibt zwei mögliche Positionen für den Schirm:

  • 0,42 m von I1 und 0,58 m von I2,
  • -2,5 m von I1 (rechts von I2) und 3,5 m von I2.

11.Geben Sie die Einheiten für den Lichtstrom Ф, die Beleuchtungsstärke E und die Lichtstärke I in den Basiseinheiten des SI-Systems an.

Lösung:

fotometria-11.gif

1 cd = 1 Candela

12.Berechnen Sie, in welchem Abstand eine Lampe mit der Lichtstärke 10 cd angebracht werden muss, wenn auf der Arbeitsfläche eine Beleuchtungsstärke von 200 lx erforderlich ist und das Licht unter einem Winkel von 600 einfällt.

Lösung:

 fotometria-12.gif

Die Lampe soll 50 cm über der Tischfläche angebracht werden.

13.In der Höhe h = 4 m über einer horizontalen Fußbodenfläche befindet sich eine punktförmige Lichtquelle mit der Lichtstärke I = 100 cd. Bestimmen Sie die Beleuchtungsstärke der Ebene im Punkt A, der vom Lotfußpunkt des senkrecht auf die Ebene fallenden Strahls um AB = l = 20 m entfernt ist.

Lösung:

 fotometria-13

Die Beleuchtungsstärke im Punkt A beträgt EA = 0,05 lx.

14.Über einem quadratischen Tisch mit der Diagonale u = 2,12 m hängt eine Lampe in der Höhe h = 1 m. Wie vielmal kleiner wird die Beleuchtungsstärke im Mittelpunkt des Tisches, wenn wir diese Lampe in derselben Höhe über einer Ecke des Tisches aufhängen?

Lösung:

 fotometria-14

Die Beleuchtungsstärke im Mittelpunkt des Tisches verringert sich um den Faktor 3,11.

15.Welche Lampe erzeugt eine größere Beleuchtungsstärke? Eine Lampe mit der Lichtstärke 50 cd in einem Abstand von 50 cm oder eine Lampe mit der Lichtstärke 200 cd in einem Abstand von 200 cm?

Lösung:

fotometria-15 

Die erste Lampe erzeugt eine viermal größere Beleuchtungsstärke als die zweite Lampe.

16.In den Punkten A und B, die 165 cm voneinander entfernt sind, befinden sich punktförmige Lichtquellen mit den Lichtstärken 36 cd und 25 cd. An welchen Punkten der Strecke AB ist ein senkrecht zu AB stehender Schirm gleich stark von beiden Quellen beleuchtet?

Lösung:

 fotometria-16

  • Der Schirm wird an den Punkten x1 = 9,9 m
  • oder x2 = 0,9 m von beiden Quellen gleich stark beleuchtet.

17.Eine punktförmige Lichtquelle besitzt in alle Richtungen die Lichtstärke I = 100 cd. Berechnen Sie den gesamten Lichtstrom und die Beleuchtungsstärke einer Fläche, die senkrecht zur Lichtrichtung steht und sich im Abstand von 5 m von der Quelle befindet.

Lösung:

fotometria-17 

Der gesamte Lichtstrom beträgt Ф = 1256 lm, die Beleuchtungsstärke ist E = 4 lx.

18.Im Zentrum einer hohlen Kugel befindet sich eine punktförmige Lichtquelle. Wie ändert sich die Beleuchtungsstärke der Innenfläche der Kugel, wenn der Radius der Kugel verdoppelt wird?

Lösung:

fotometria-18 

Wird der Radius der Kugel verdoppelt, so verringert sich die Beleuchtungsstärke auf ein Viertel.

19.Berechnen Sie, welcher Lichtstrom auf eine Fläche von 100 cm² fällt, wenn sich eine Lichtquelle mit der Lichtstärke 500 cd in einem Abstand von 120 cm befindet und die Fläche senkrecht zu den Strahlen steht.

Lösung:

fotometria-19 

Der Lichtstrom beträgt Ф = 3,5 lm.

20.Ein Schulflur muss an der Stelle direkt unter der Lichtquelle eine Beleuchtungsstärke von mindestens 32 lx haben. Die Höhe der Lichtquelle über dem Boden beträgt 5 m. Wie viele Glühlampen mit der Lichtstärke 200 cd müssen verwendet werden?

Lösung:

 fotometria-20

Es müssen 4 Glühlampen mit der Lichtstärke 200 cd verwendet werden.